Признаки делимости
| Делитель |
Признаки |
| 2 |
Оканчивается одной из чётных цифр: \(0\), \(2\), \(4\), \(6\), \(8\) |
| 3 |
Сумма цифр делится на \(3\) |
| 4 |
Две последние цифры нули или образуют число, делящееся на \(4\) |
| 5 |
Последняя цифра \(0\) или \(5\) |
| 6 |
Одновременно соблюдаются признаки делимости на \(2\) и на \(3\) |
| 7 |
Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на \(7\) |
| 8 |
Три последние цифры нули или образуют число, делящееся на \(8\) |
| 9 |
Сумма цифр делится на \(9\) |
| 10 |
Последняя цифра - \(0\) |
| 11 |
Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр стоящих на четных местах, делится на \(11\) |
Деление с остатком
Пусть имеются два числа \(\ a\ \) и \( \ b \ ( \ a \in Z, b \in N).\) Разделить целое число \(a\) на натуральное число \(b\) с остатком значит найти два целых числа \(p\) и \(q\) таких, что справедливо равенство
\(a= p \cdot b \ +\ q\),
где \(p\) называют частным, а \(q\) - остатном от деления \(a\) на \(b\), причем \(0 \leq q < b\). Эта формула носит название формулы деления целого числа на натуральное с остатком, и такое представление единственно.
В частности, если \(q = 0\), то целое число \(a\) делится нацело на натуральное число \(b\). Если \(q \neq 0\) , то \(p\) называется неполным частным.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм их нахождения и свойства:
- Сформулируем несколько определений, имеющих отношение к понятиям наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
- Если каждое из натуральных чисел делится нацело на на одно и тоже натуральное число, то это число является их общим делителем.
- Если два или несколько натуральных чисел не имеют общих натуральных делителей, отличных от единицы, то эти числа называют взаимно простыми. При этом каждое из них в отдельности не обязательно должно быть простым.
- Так как некоторое колличество натуральных чисел имеет лишь конечное число общих натуральных делителей, то среди них всегда имеется наибольший, который называется наибольшим общим делителем. В случае взаимно простых чисел он равен единице.
Стандартный алгоритм нахождения \(НОД\):
- Разложим каждое из натуральных чисел на простые множители;
- Перебирая все различные простые множители, входящие хотя бы в одно из этих чисел, возьмем каждый из них в наименьшей степени, с которой он входит в эти числа;
- Перемножим взятые множители.
Если натуральное число является кратным для каждого из выбранного набора натуральных чисел, то это число называется общим кратным. В частности, произведение нескольких натуральных чисел всегда является их общим кратным.
Среди всех общих кратных всегда найдется наименьшее. Оно называется наименьшее общее кратное.
Стандартный алгоритм нахождения \(НОК\) нескольких чисел:
- Разложим каждое из натуральных чисел на простые множители;
- В отличие от алгоритма нахождения \(НОД\), возьмем каждый из простых множителейв наибольшей степени из степеней, с которыми он входит в разложение;
- Перемножим взятые множители.
Свойства \(НОД\) и \(НОК\):
- Переместительное свойство: \(НОД(а,b)=НОД(b,а) ,НОК(а,b)=НОК(b,а)\);
- \(НОД(а,b)\cdot НОК(а,b)=a\cdot b\) (свойство верно только для двух чисел);
- Если \(НОД(а, b)=n\), то найдутся такие натуральные числа \(c\), \(d\), что \(a=cn\), \(b=dn\), причем \(НОД(c,d)=1\);
- Общий множитель \(c\) можно выносить из-под знаков \(НОД\) и \(НОК\);
- Два (три) последовательных числа взаимно просты \(НОД(a,a+1)=1\), \(НОД(a,a+1,a+2)=1\);
- Если \(a\) кратно \(b\), то \(НОД(a,b)=b\), а \(НОК(a,b)=a\);
- Если \(b>a\) , то \( НОД(a,b)=НОД(a,b-a)\);
- Пошаговое (последовательное) вычисление \(НОД\) и \(НОК\):
\(НОД(a,b,c)=НОД(НОД(a,b),c)\),
\(НОК(a,b,c)=НОК(НОК(a,b),c)\);
- Если при делении числа \(a\) на число \(b\) получается ненулевой остаток \(q\) (т.е. \(a= p \cdot b \ +\ q\));
\(НОД(a,b)=НОК(q,b)\).
Знание указанных свойств позволяет на практике упрощать решение многих задач, в которых используются понятия \(НОД\) и \(НОК\).
