Арифметические прогрессии
Числовая последовательность \(\{a_n\}, n \in N\), называется арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом \(d\), т.е.:
\(\forall n \in N \quad a_{n+1}=a_n+d\),
где \(d\) называется разностью арифметической прогрессии,
\(a_1\) - первым членом,
\(a_n\) - \(n\)-ым членом (общим членом) прогрессии.
Если \(d>0\), то арифметическая прогрессия является возрастающей, если \(d < 0\), то убывающей, при \(d = 0\) - постоянной. Любая арифметическая прогрессия однозначно задается парой чисел \((a_1;d)\).
Свойства арифметической прогрессии
-
Формула общего члена арифметической прогрессии:
\(\forall n \in N \quad a_n=a_1+d \cdot (n-1)\).
Справедливо также обобщение этой формулы: для любого \(k\) такого, что \(1\leq k \leq n-1\), выполняется соотношение
\(a_n = a_k + d \cdot (n - k)\).
-
Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии, начиная со второго, равен полусумме (среднему арифметическому) предшествующего и последующего членов, т.е.
\(a_n = {a_{n-1}+a_{n-2} \over 2}\).
Справедливо обобщение этого свойства: любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен полусумме равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е.
\(a_n = {a_{n-k}+a_{n+k} \over 2}\), где \(1\leq k \leq n-1\).
Замечание.
Характеристическое свойство является не только необходимым, но и достаточным условием того, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией.
Теорема (критерий арифметической прогрессии).
Числовая последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.
-
Свойство: \(a_n + a_m = a_k + a_l\), если \(n + m = k + l\).
-
Сумма \(S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\) первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых, т.е
\(S_n={a_{1}+a_{n} \over 2}\cdot n\).
Если воспользоваться формулой общего члена (1), то сумму \(n\) первых членов можно переписать в виде:
\(S_n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}\cdot n\).
-
Пусть \(\{a_n\}\) и \(\{b_n\}\) - арифметические прогрессии. Тогда последовательность \(\{a_n \pm b_n\}\) также является арифметической прогрессией.
-
Если все члены арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) умножить на одно и то же действительное число \(k\), то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией, разность которой соответственно измениться в \(k\) раз.
Геометрические прогрессии
Числовая последовательность \(\{b_n\},n \in N\) называется геометрической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число \(q\), т.е.
\(b_{n+1}=b_n\cdot q\).
Здесь число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии, \(b_1\) - её первым членом, \(b_n\) - \(n\)-м членом (общим членом) прогрессии.
Геометрическая прогрессия \(\{b_n\}\) называется бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет условию \(| q |<1\).
Любая геометрическая прогрессия однозначно определяется парой чисел \((b_1,q)\).
Свойства геометрической прогрессии
-
Формула общего члена геометрической прогрессии:
\(\forall n \in Z \quad b_n=b_1\cdot q^{n-1}\),
а также её обобщение
\(b_n=b_k\cdot q^{n-k}\), где \(1\leq k \leq n-1\).
-
Характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат каждого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению предшествующего и последующего членов геометрической прогрессии, т.е.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\).
Справедливо также обобщение этого свойства: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, будучи возведенным в квадрат, равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е.
\(b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\) , где \(1\leq k \leq n-1\).
Замечание.
Характеристическое свойство является не только необходимым, но и достаточным условием того, что данная числовая последовательность \(\{b_n\}\) является геометрической прогрессией.
Теорема (критерий геометрической прогрессии).
Числовая последовательность \(\{b_n\}\) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, будучи возведенным в квадрат, равен произведению предшествующего и последующего членов.
Следствие. Действительные числа \(a, b, c\), отличные от нуля, образуют геометрическую прогрессию (или являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии) тогда и только тогда, когда квадрат среднего числа равен произведению двух других, т.е. \(b^2=a\cdot c\).
-
Имеем \(b_n\cdot b_m = b_k\cdot b_l\), если \(n + m = k + l\).
-
Формулы суммы \(S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n\) первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{b_n\}\):
\(S_n=b_1 \cdot {1- q_{n} \over 1-q}\) \((q\neq 1)\);
\(S_n=b_1 \cdot n\) \((q\neq 1)\).
-
Формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
\(S_n={b^{1} \over 1-q}\).
-
Свойство монотонности геометрической прогрессии:
-
Если \( b_1 > 0, q > 1\) или \( b_1 < 0, 0< q > 1\), то прогрессия является возрастающей;
-
Если \( b_1 < 0, q > 1\) или \( b_1 > 0, 0< q > 1\), то прогрессия является убывающей;
-
Если q < 0\(q > 0\), то прогрессия не является монотонной. Такую последовательность называют знакочередующейся.
-
Пусть \(\{a_n\}\) и \(\{b_n\}\) - геометрические прогрессии со знаменателями \(q_1\) и \(q_2\) соответственно. Тогда справедливы следующие утверждения:
-
Последовательность \(\{a_n\cdot b_n\}\) является геометрической прогрессией со знаменателем, равным \(q_1\cdot q_2\);
-
Последовательность \(\{a_n / b_n\}\) является геометрической прогрессией со знаменателем, равным \(q_1/ q_2\);
-
Последовательность \(\{| a_{n} |\}\) является геометрической прогрессией со знаменателем, равным \(| q_{1} |\).
-
Если \(\{a_n\}\) - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, то последовательность \(\{a_n^a\}\) при любом \(a>0\) также образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
