«Академия»
Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс 56 уроков, 112 часов
Задачи, основанные на теории чисел. Последняя задача ЕГЭ
03.10.16 16:00
Урок 1
Бесплатный
Вводное занятие. Натуральные числа
05.10.16 16:00
Урок 2
Бесплатный
Целые числа. Делимость с остатком. НОД и НОК
10.10.16 16:00
Урок 3
Бесплатный
Свойства НОД и НОК. Диофантовы уравнения
12.10.16 16:00
Урок 4
Бесплатный
Диофантовы уравнения второго порядка
Текстовые задачи
17.10.16 16:00
Урок 5
Бесплатный
Простейшие текстовые задачи
19.10.16 16:00
Урок 6
Бесплатный
Проценты
24.10.16 16:00
Урок 7
Бесплатный
Проценты. Формула сложных процентов
31.10.16 16:00
Урок 8
Бесплатный
Текстовые задачи на работу и движение
Теория вероятности
02.11.16 16:00
Урок 9
Бесплатный
Основные понятия теории вероятности
Корни, степени, логарифмы
07.11.16 16:00
Урок 10
Бесплатный
Степени и корни
09.11.16 16:00
Урок 11
Бесплатный
Понятие о логарифме
Решение уравнений
16.11.16 16:00
Урок 12
Бесплатный
Решение алгебраических уравнений
21.11.16 16:00
Урок 13
Бесплатный
Решение показательных и логарифмических уравнений
23.11.16 16:00
Урок 14
Бесплатный
Решение показательных и логарифмических уравнений
Тригонометрия
28.11.16 16:00
Урок 15
Бесплатный
Геометрическое определение тригонометрических функций. Тригонометрическая окружность
30.11.16 16:00
Урок 16
Бесплатный
Тригонометрические выражения
05.12.16 16:00
Урок 17
Бесплатный
Тригонометрические выражения. Продолжение
07.12.16 16:00
Урок 18
Бесплатный
Тригонометрические уравнения. Методы решения
12.12.16 16:00
Урок 19
Бесплатный
Методы решения тригонометрических уравнений. Продолжение
14.12.16 16:00
Урок 20
Бесплатный
Тригонометрические неравенства
Производная и начала математического анализа
19.12.16 16:00
Урок 21
Бесплатный
Определение производной
21.12.16 16:00
Урок 22
Бесплатный
Производная функции
11.01.17 16:00
Урок 23
Бесплатный
Возрастание и убывание функций. Задачи на экстремум
16.01.17 16:00
Урок 24
Бесплатный
Экономические задачи на наибольшее и наименьшее значения
18.01.17 16:00
Урок 25
Бесплатный
Экономические задачи (продолжение). Первообразная и интеграл
Планиметрия
23.01.17 16:00
Урок 26
Бесплатный
Координатная плоскость. Отрезки. Прямые. Углы и треугольники
25.01.17 16:00
Урок 27
Бесплатный
Треугольники
30.01.17 16:00
Урок 28
Бесплатный
Параллелограмм
01.02.17 16:00
Урок 29
Бесплатный
Трапеция. Четыреугольники. Векторы
06.02.17 16:00
Урок 30
Бесплатный
Окружность. Круг. Углы
08.02.17 16:00
Урок 31
Бесплатный
Окружности, связанные с треугольником, четырехугольником
13.02.17 16:00
Урок 32
Бесплатный
Задачи, связанные с окружностью
15.02.17 16:00
Урок 33
Бесплатный
Планиметрия. Повышенный уровень
20.02.17 16:00
Урок 34
Бесплатный
Планиметрия. Повышенный уровень
22.02.17 16:00
Урок 35
Бесплатный
Задачи с развернутым ответом
Стереометрия
27.02.17 16:00
Урок 36
Бесплатный
Куб. Параллелепипед
01.03.17 16:00
Урок 37
Бесплатный
Призма. Пирамида
06.03.17 16:00
Урок 38
Бесплатный
Тела вращения
13.03.17 16:00
Урок 39
Бесплатный
Комбинации тел
15.03.17 16:00
Урок 40
Бесплатный
Углы между плоскостями. Углы между прямыми
20.03.17 16:00
Урок 41
Бесплатный
Углы и расстояния в пространстве
22.03.17 16:00
Урок 42
Бесплатный
Комбинированные задачи на многогранники
27.03.17 16:00
Урок 43
Бесплатный
Стереометрия. Повышенный уровень
29.03.17 16:00
Урок 44
Бесплатный
Стереометрия. Повышенный уровень
Неравенства
03.04.17 16:00
Урок 45
Бесплатный
Обобщенный метод интервалов
05.04.17 16:00
Урок 46
Бесплатный
Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства
10.04.17 16:00
Урок 47
Бесплатный
Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства. Повышенная сложность
12.04.17 16:00
Урок 48
Бесплатный
Показательные неравенства
17.04.17 16:00
Урок 49
Бесплатный
Логарифмические неравенства
19.04.17 16:00
Урок 50
Бесплатный
Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2017
24.04.17 16:00
Урок 51
Бесплатный
Комбинированные неравенства
Задачи с параметром
26.04.17 16:00
Урок 52
Бесплатный
Задачи с параметром
15.05.17 16:00
Урок 53
Бесплатный
Задачи с параметром
17.05.17 16:00
Урок 54
Бесплатный
Задачи с параметром
22.05.17 16:00
Урок 55
Бесплатный
Задачи с параметром
24.05.17 18:00
Урок 56
Бесплатный
Разбор ЕГЭ
Урок 5. Простейшие текстовые задачи

Решение задач с геометрической и арифметической прогрессией

Урок завершен 17 октября в 16:00
Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

Урок

Смотреть запись урока  

Теория

Арифметические прогрессии

Числовая последовательность \(\{a_n\}, n \in N\), называется арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом \(d\), т.е.:  

 \(\forall n \in N \quad a_{n+1}=a_n+d\),

где \(d\) называется разностью арифметической прогрессии,
\(a_1\) - первым членом,
\(a_n\) - \(n\)-ым членом (общим членом) прогрессии.

Если \(d>0\), то арифметическая прогрессия является возрастающей, если \(d < 0\), то убывающей, при \(d = 0\) - постоянной. Любая арифметическая прогрессия однозначно задается парой чисел  \((a_1;d)\).

Свойства арифметической прогрессии

  1. Формула общего члена арифметической прогрессии:

\(\forall n \in N \quad a_n=a_1+d \cdot (n-1)\).    

​Справедливо также обобщение этой формулы: для любого \(k\) такого, что \(1\leq k \leq n-1\), выполняется соотношение

\(a_n = a_k + d \cdot (n - k)\).

  1. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии, начиная со второго, равен полусумме (среднему арифметическому) предшествующего и последующего членов, т.е.

\(a_n = {a_{n-1}+a_{n-2} \over 2}\).

Справедливо обобщение этого свойства: любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен полусумме равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е.

\(a_n = {a_{n-k}+a_{n+k} \over 2}\), где  \(1\leq k \leq n-1\)

Замечание.
Характеристическое свойство является не только необходимым, но и достаточным условием того, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией.

Теорема (критерий арифметической прогрессии).
Числовая последовательность \(\{a_n\}\) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов.

  1. Свойство:  \(a_n + a_m = a_k + a_l\), если  \(n + m = k + l\).  

  2. Сумма  \(S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\) первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых, т.е

\(S_n={a_{1}+a_{n} \over 2}\cdot n\).  

Если воспользоваться формулой общего члена (1), то сумму \(n\) первых членов можно переписать в виде:

\(S_n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}\cdot n\).  

  1. Пусть \(\{a_n\}\) и \(\{b_n\}\) - арифметические прогрессии. Тогда последовательность \(\{a_n \pm b_n\}\) также является арифметической прогрессией.

  2. Если все члены арифметической прогрессии \(\{a_n\}\) умножить на одно и то же действительное число \(k\), то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией, разность которой соответственно измениться в \(k\) раз.

Геометрические прогрессии

Числовая последовательность \(\{b_n\},n \in N\) называется геометрической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число \(q\), т.е. 

\(b_{n+1}=b_n\cdot q\).

Здесь число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии, ​\(b_1\) - её первым членом, \(b_n\) - \(n\)-м членом (общим членом) прогрессии.

Геометрическая прогрессия \(\{b_n\}\) называется бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет условию \(| q |<1\).
Любая геометрическая прогрессия однозначно определяется парой чисел \((b_1,q)\).

Свойства геометрической прогрессии

  1. Формула общего члена геометрической прогрессии:

​ \(\forall n \in Z \quad b_n=b_1\cdot q^{n-1}\)

а также её обобщение

\(b_n=b_k\cdot q^{n-k}\),   где  \(1\leq k \leq n-1\)

  1. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат каждого члена прогрессии, начиная со второго, равен произведению предшествующего и последующего членов геометрической прогрессии, т.е.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\).

Справедливо также обобщение этого свойства: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, будучи возведенным в квадрат, равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е. 

\(b_n^2=b_{n-k}\cdot b_{n+k}\) ,  где \(1\leq k \leq n-1\)

Замечание.
Характеристическое свойство является не только необходимым, но и достаточным условием того, что данная числовая последовательность \(\{b_n\}\) является геометрической прогрессией.

Теорема (критерий геометрической прогрессии).
Числовая последовательность \(\{b_n\}\) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, будучи возведенным в квадрат, равен произведению предшествующего и последующего членов.

Следствие. Действительные числа \(a, b, c\), отличные от нуля, образуют геометрическую прогрессию (или являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии) тогда и только тогда, когда квадрат среднего числа равен произведению двух других, т.е. \(b^2=a\cdot c\).

  1. Имеем  \(b_n\cdot b_m = b_k\cdot b_l\),  если  \(n + m = k + l\)

  2. Формулы суммы  \(S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n\)  первых \(n\) членов геометрической прогрессии \(\{b_n\}\):

\(S_n=b_1 \cdot {1- q_{n} \over 1-q}\)      \((q\neq 1)\);

\(S_n=b_1 \cdot n\)        \((q\neq 1)\)

  1.  Формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\(S_n={b^{1} \over 1-q}\). 

  1. Свойство монотонности геометрической прогрессии:

  • Если  \( b_1 > 0,  q > 1\)  или  \( b_1 < 0, 0< q > 1\), то прогрессия является возрастающей;

  • Если  \( b_1 < 0, q > 1\)  или  \( b_1 > 0, 0< q > 1\), то прогрессия является убывающей;

  • Если q < 0\(q > 0\), то прогрессия не является монотонной. Такую последовательность называют знакочередующейся.

  1. Пусть \(\{a_n\}\) и \(\{b_n\}\) - геометрические прогрессии со знаменателями \(q_1\) и \(q_2\) соответственно. Тогда справедливы следующие утверждения:

  • Последовательность \(\{a_n\cdot b_n\}\) является геометрической прогрессией со знаменателем, равным \(q_1\cdot q_2\);

  • Последовательность \(\{a_n / b_n\}\) является геометрической прогрессией со знаменателем, равным \(q_1/ q_2\);

  • Последовательность \(\{| a_{n} |\}\) является геометрической прогрессией со знаменателем, равным \(| q_{1} |\).

  1. Если \(\{a_n\}\)  - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, то последовательность \(\{a_n^a\}\) при любом \(a>0\) также образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Методические материалы к уроку

Для того, чтобы открыть методический материал, необходимо записаться на урок.

Практикум

Для прохождения домашнего задания, вам необходимо записаться на урок.
Филимонова Елена Викторовна
3 октября в 16:00
Урок 1
Вводное занятие. Натуральные числа
5 октября в 16:00
Урок 2
Целые числа. Делимость с остатком. НОД и НОК
10 октября в 16:00
Урок 3
Свойства НОД и НОК. Диофантовы уравнения
12 октября в 16:00
Урок 4
Диофантовы уравнения второго порядка
17 октября в 16:00
Урок 5
Простейшие текстовые задачи
19 октября в 16:00
Урок 6
Проценты
24 октября в 16:00
Урок 7
Проценты. Формула сложных процентов
31 октября в 16:00
Урок 8
Текстовые задачи на работу и движение
2 ноября в 16:00
Урок 9
Основные понятия теории вероятности
7 ноября в 16:00
Урок 10
Степени и корни
9 ноября в 16:00
Урок 11
Понятие о логарифме
16 ноября в 16:00
Урок 12
Решение алгебраических уравнений
21 ноября в 16:00
Урок 13
Решение показательных и логарифмических уравнений
23 ноября в 16:00
Урок 14
Решение показательных и логарифмических уравнений
28 ноября в 16:00
Урок 15
Геометрическое определение тригонометрических функций. Тригонометрическая окружность
30 ноября в 16:00
Урок 16
Тригонометрические выражения
5 декабря в 16:00
Урок 17
Тригонометрические выражения. Продолжение
7 декабря в 16:00
Урок 18
Тригонометрические уравнения. Методы решения
12 декабря в 16:00
Урок 19
Методы решения тригонометрических уравнений. Продолжение
14 декабря в 16:00
Урок 20
Тригонометрические неравенства
19 декабря в 16:00
Урок 21
Определение производной
21 декабря в 16:00
Урок 22
Производная функции
11 января в 16:00
Урок 23
Возрастание и убывание функций. Задачи на экстремум
16 января в 16:00
Урок 24
Экономические задачи на наибольшее и наименьшее значения
18 января в 16:00
Урок 25
Экономические задачи (продолжение). Первообразная и интеграл
23 января в 16:00
Урок 26
Координатная плоскость. Отрезки. Прямые. Углы и треугольники
25 января в 16:00
Урок 27
Треугольники
30 января в 16:00
Урок 28
Параллелограмм
1 февраля в 16:00
Урок 29
Трапеция. Четыреугольники. Векторы
6 февраля в 16:00
Урок 30
Окружность. Круг. Углы
8 февраля в 16:00
Урок 31
Окружности, связанные с треугольником, четырехугольником
13 февраля в 16:00
Урок 32
Задачи, связанные с окружностью
15 февраля в 16:00
Урок 33
Планиметрия. Повышенный уровень
20 февраля в 16:00
Урок 34
Планиметрия. Повышенный уровень
22 февраля в 16:00
Урок 35
Задачи с развернутым ответом
27 февраля в 16:00
Урок 36
Куб. Параллелепипед
1 марта в 16:00
Урок 37
Призма. Пирамида
6 марта в 16:00
Урок 38
Тела вращения
13 марта в 16:00
Урок 39
Комбинации тел
15 марта в 16:00
Урок 40
Углы между плоскостями. Углы между прямыми
20 марта в 16:00
Урок 41
Углы и расстояния в пространстве
22 марта в 16:00
Урок 42
Комбинированные задачи на многогранники
27 марта в 16:00
Урок 43
Стереометрия. Повышенный уровень
29 марта в 16:00
Урок 44
Стереометрия. Повышенный уровень
3 апреля в 16:00
Урок 45
Обобщенный метод интервалов
5 апреля в 16:00
Урок 46
Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства
10 апреля в 16:00
Урок 47
Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства. Повышенная сложность
12 апреля в 16:00
Урок 48
Показательные неравенства
17 апреля в 16:00
Урок 49
Логарифмические неравенства
19 апреля в 16:00
Урок 50
Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2017
24 апреля в 16:00
Урок 51
Комбинированные неравенства
26 апреля в 16:00
Урок 52
Задачи с параметром
15 мая в 16:00
Урок 53
Задачи с параметром
17 мая в 16:00
Урок 54
Задачи с параметром
22 мая в 16:00
Урок 55
Задачи с параметром
24 мая в 18:00
Урок 56
Разбор ЕГЭ
119334, г. Москва,
Ленинский пр-т, 32а
Пн. – Пт.
10.00 – 20.00
Федеральная программа онлайн-обучения для школьников: возможность получить образование столичного уровня в регионах России.
Формула проекта разработана в лаборатории Mitlabs © 2019. Все права защищены.