Уравнения 1 и 2 называются равносильными, если каждое решение уравнения 1 является решением уравнения 2 и, наоборот. Иными словами, два уравнения равносильны, если множество их решений совпадают.

Примеры равносильных преобразований:

Возведение уравнения (неравенства) в нечетную натуральную степень (извлечение алгебраического корня нечетной степени) приводит к равносильному уравнению (неравенству);
Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) неотрицательны на некотором множестве, то на этом множестве возведение в четную степень и извлечение арифметического квадратного корня;
Если функция \(h(x)\) определена на \(ОДЗ\) исходного уравнения (неравенства) , то ее можно прибавить (вычесть)у обеим частям уравнения (неравенства);
Если функция \(h(x)\) определена и не обращается в нуль на \(ОДЗ\) исходного уравнения, то обе части уравнения можно одновременно умножить (делить) на эту функцию.

Свойства степеней

Возвести число в степень \(n\) - значит умножить его на себя \(n\) раз:

\(a^n=\underbrace{a...a}_{n}\), при этом \(a^0=1\).

\(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\)

\({a^n\over a^m} = a^{n-m}\)

\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)

\((ab)^n=a^n\cdot b^n\)

\({({a\over b})}^n = {a^n\over b^n}\)

\(a^{-n}={1\over a^n}\)

\(a^{m\over n} = {\sqrt[n]{a^m}}\)

Формулы сокращённого умножения

\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\)

\((a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2\)

\(a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)

\((a\pm b)^3 = 3a^3\pm 3a^2b+3ab^2 \pm b^3\)

Разложение на множители квадратного трёхчлена

Если \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то

\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Модуль числа

Модуль числа – это расстояние от числа до нуля.

\(|b|=b\), если \(b\) – положительное число;

\(|a|=a\), если \(a\) – отрицательное число;

Алгебраическое определение модуля: \(|a|=\begin {cases} a, \quad a \geq 0 \\ -a, \quad a<0 \end {cases}\)

Корень числа

\(\sqrt[n]a = b\), если \(a=b^n\)

Корень чётной степени можно найти только из неотрицательного числа!

Результат вычисления корня чётной степени тоже всегда неотрицателен по определению!

Если корень нечётной степени, то \(a\) и \(b\) – любые числа.

Свойства корней

\(\sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b \)

\(\sqrt {a\over b} = {\sqrt a \over \sqrt b}\)

\((\sqrt[n] a)^n = a\)

\(\sqrt[2n+1] {a^{2n+1}} = a\)

\(\sqrt[2n] {a^{2n}} = |a|\)

Логарифмы

Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) - это показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\).

\(y = \log_ax\Leftrightarrow a^y=x\)

Свойства логарифмов

Основное логарифмическое тождество \(a^{\log_ax}=x, x>0,a>0,a\neq1\)

\( \log_aa=1,a>0, a\neq1\)

\( \log_a1=0, a>0, a \neq 1\)

\(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\)

\(\log_a{b\over c} = \log_ab - \log_ac\)

\(\log_ab^p=p\log_ab\)

\(\log_{a^k}b={1\over k}\log_ab\)

\(\log_ab= {1\over \log_ba}\)

\(\log_ab={\log_cb\over \log_ca}\)

Методические материалы к уроку

Для того, чтобы открыть методический материал, необходимо записаться на урок.

Практикум

Для прохождения домашнего задания, вам необходимо записаться на урок.

Филимонова Елена Викторовна

подробнее о преподавателе

3 октября в 16:00

Урок 1

Вводное занятие. Натуральные числа

5 октября в 16:00

Урок 2

Целые числа. Делимость с остатком. НОД и НОК

10 октября в 16:00

Урок 3

Свойства НОД и НОК. Диофантовы уравнения

12 октября в 16:00

Урок 4

Диофантовы уравнения второго порядка

17 октября в 16:00

Урок 5

Простейшие текстовые задачи

Проценты. Формула сложных процентов

31 октября в 16:00

Урок 8

Текстовые задачи на работу и движение

2 ноября в 16:00

Урок 9

Основные понятия теории вероятности

Решение алгебраических уравнений

21 ноября в 16:00

Урок 13

Решение показательных и логарифмических уравнений

23 ноября в 16:00

Урок 14

Решение показательных и логарифмических уравнений

28 ноября в 16:00

Урок 15

Геометрическое определение тригонометрических функций. Тригонометрическая окружность

30 ноября в 16:00

Урок 16

Тригонометрические выражения

5 декабря в 16:00

Урок 17

Тригонометрические выражения. Продолжение

7 декабря в 16:00

Урок 18

Тригонометрические уравнения. Методы решения

12 декабря в 16:00

Урок 19

Методы решения тригонометрических уравнений. Продолжение

14 декабря в 16:00

Урок 20

Тригонометрические неравенства

19 декабря в 16:00

Урок 21

Определение производной

Возрастание и убывание функций. Задачи на экстремум

16 января в 16:00

Урок 24

Экономические задачи на наибольшее и наименьшее значения

18 января в 16:00

Урок 25

Экономические задачи (продолжение). Первообразная и интеграл

23 января в 16:00

Урок 26

Координатная плоскость. Отрезки. Прямые. Углы и треугольники

Трапеция. Четыреугольники. Векторы

6 февраля в 16:00

Урок 30

Окружность. Круг. Углы

8 февраля в 16:00

Урок 31

Окружности, связанные с треугольником, четырехугольником

13 февраля в 16:00

Урок 32

Задачи, связанные с окружностью

15 февраля в 16:00

Урок 33

Планиметрия. Повышенный уровень

20 февраля в 16:00

Урок 34

Планиметрия. Повышенный уровень

22 февраля в 16:00

Урок 35

Задачи с развернутым ответом

Углы между плоскостями. Углы между прямыми

20 марта в 16:00

Урок 41

Углы и расстояния в пространстве

22 марта в 16:00

Урок 42

Комбинированные задачи на многогранники

27 марта в 16:00

Урок 43

Стереометрия. Повышенный уровень

29 марта в 16:00

Урок 44

Стереометрия. Повышенный уровень

3 апреля в 16:00

Урок 45

Обобщенный метод интервалов

5 апреля в 16:00

Урок 46

Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства

10 апреля в 16:00

Урок 47

Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства. Повышенная сложность

12 апреля в 16:00

Урок 48

Показательные неравенства

17 апреля в 16:00

Урок 49

Логарифмические неравенства

19 апреля в 16:00

Урок 50

Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2017

24 апреля в 16:00

Урок 51

Комбинированные неравенства

119334, г. Москва,
Ленинский пр-т, 32а

Пн. – Пт.
10.00 – 20.00

Технические требования

Юридическая информация

Партнерская программа

Договор оферты

facebook vk

ok instagram

Пишите нам:

contact@academiarf.ru

Федеральная программа онлайн-обучения для школьников: возможность получить образование столичного уровня в регионах России.