
Ленинский пр-т, 32а
Пусть даны два уравнения:
1. \(f(x)=0\)
2. \(g(x)=0\)
Уравнения 1 и 2 называются равносильными, если каждое решение уравнения 1 является решением уравнения 2 и, наоборот. Иными словами, два уравнения равносильны, если множество их решений совпадают.
Примеры равносильных преобразований:
Свойства степеней
Возвести число в степень \(n\) - значит умножить его на себя \(n\) раз:
\(a^n=\underbrace{a...a}_{n}\), при этом \(a^0=1\).
\(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\)
\({a^n\over a^m} = a^{n-m}\)
\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)
\((ab)^n=a^n\cdot b^n\)
\({({a\over b})}^n = {a^n\over b^n}\)
\(a^{-n}={1\over a^n}\)
\(a^{m\over n} = {\sqrt[n]{a^m}}\)
Формулы сокращённого умножения
\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\)
\((a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2\)
\(a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
\((a\pm b)^3 = 3a^3\pm 3a^2b+3ab^2 \pm b^3\)
Разложение на множители квадратного трёхчлена
Если \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то
\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Модуль числа
Модуль числа – это расстояние от числа до нуля.
\(|b|=b\), если \(b\) – положительное число;
\(|a|=a\), если \(a\) – отрицательное число;
Алгебраическое определение модуля: \(|a|=\begin {cases} a, \quad a \geq 0 \\ -a, \quad a<0 \end {cases}\)
Корень числа
\(\sqrt[n]a = b\), если \(a=b^n\)
Корень чётной степени можно найти только из неотрицательного числа!
Результат вычисления корня чётной степени тоже всегда неотрицателен по определению!
Если корень нечётной степени, то \(a\) и \(b\) – любые числа.
Свойства корней
\(\sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b \)
\(\sqrt {a\over b} = {\sqrt a \over \sqrt b}\)
\((\sqrt[n] a)^n = a\)
\(\sqrt[2n+1] {a^{2n+1}} = a\)
\(\sqrt[2n] {a^{2n}} = |a|\)
Логарифмы
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) - это показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\).
\(y = \log_ax\Leftrightarrow a^y=x\)
Свойства логарифмов
Основное логарифмическое тождество \(a^{\log_ax}=x, x>0,a>0,a\neq1\)
\( \log_aa=1,a>0, a\neq1\)
\( \log_a1=0, a>0, a \neq 1\)
\(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\)
\(\log_a{b\over c} = \log_ab - \log_ac\)
\(\log_ab^p=p\log_ab\)
\(\log_{a^k}b={1\over k}\log_ab\)
\(\log_ab= {1\over \log_ba}\)
\(\log_ab={\log_cb\over \log_ca}\)