
Ленинский пр-т, 32а
Первообразная
Первообразной функцией данной функции \(f\) называют такую функцию \(F\), производная которой (на всей области определения) равна \(f\), то есть \(F'=f\).
Вычисление первообразной называется интегрированием.
Первообразной \(F\) для \(f=x^2\) является, например, \({x^3\over 3}+38\), потому что \(({x^3\over 3}+38)'=x^2\), то есть \(F'=f\) на \(R\).
А также первообразной для \(f\) будет и \({x^3\over 3}+1\), \({x^3\over 3}+12368\) и т.д., то есть, вообще говоря, для \(f=x^2\) будет целое семейство первообразных \(F={x^3\over 3}+C\),
где \(C\) – константа, любое действительное число.
Множество первообразных функций для \(f(x)\) называют неопределенным интегралом функции \(y=f(x)\) и обозначают \(\int f(x)dx=x^2\):
\(\int f(x)dx=F+C\).
Определенный интеграл
Определенный интеграл записывается так: \(\int\limits_a^bf(x)dx\).
То есть у нас появляются границы интегрирования, \(a\) – нижняя граница интегрирования, \(b\) – верхняя.
Так вот формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл следующим образом: \(\int\limits_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)\).
При вычислении первообразных вы можете пользоваться таблицей первообразных:
Функция \(f(x)\) | Первообразная \(F(x)\) |
\(k\) | \(kx+C\) |
\(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n\neq-1\) |
\(\frac{1}{x}\) | \(ln| x|+C\) |
\(\sin{x}\) | \(-\cos{x}+C\) |
\(\cos{x}\) | \(\sin{x}+C\) |
\(e^x\) | \(e^x+C\) |
\(a^x\) | \(\frac{a^{x}}{lna}+C\) |
\(\frac{1}{\cos^{2}x}\) | \(tgx+C\) |
\(\frac{1}{\sin^{2}x}\) | \(-ctgx+C\) |