Четырехугольники
Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.
Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Из определения следует, что квадрат является ромбом, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Элементы трапеции
\(a, b\) - основания \((a~||~b)\)
\(m,~n\) - боковые стороны
\(d_1, d_2\) - диагонали |
\(h\) - высота (отрезок, соединяющий основания и перпендикулярный им)
\(MN\) - средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) |
Свойства трапеции
 |
Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, (например, высоту трапеции) пополам:
\(MN~||~a, MN~||~b, MN={a+b\over 2}\)
|
 |
Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна 180°:
\(\alpha + \beta=180 °\)
\(\gamma + \sigma=180°\)
|
 |
Треугольники \(АОВ \) и \(DOC\), образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики (имеют равные площади). |
Площадь трапеции
|
|
Через полусумму оснований и высоту:
\(S = {a+b \over 2}h\)
Через среднюю линию и высоту:
\(S=MN \cdot h\)
Через диагонали и угол между ними:
\(S={d_1d_2~sin \varphi \over 2}\)
|
Вектором называется направленный отрезок \(\overrightarrow{AB}\), где точка \(A\) - начало, точка \(B\) - конец вектора.
Нулевым вектором \(\overrightarrow{o}\) называется вектор, у которого начало совпадает с концом.
Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи \(AB\) и \(CD\) одинаково направлены.
Если лучи \(AB\) и \(CD\) противоположно направлены, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) называются противоположно направленными.
Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора \(\overrightarrow{a}\) обозначают \(|\overrightarrow{a}|\).
Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.
Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору \(a\), обозначается как \(-\overrightarrow{a}\).
Сложение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по правилу треугольника:
Суммой \(\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\) двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) называют такой третий вектор \(\overrightarrow{c}\), начало которого совпадает с началом \(\overrightarrow{a}\), а конец - с концом \(\overrightarrow{b}\) при условии, что конец вектора \(\overrightarrow{a}\) и начало вектора \(\overrightarrow{b}\) совпадают.
Сложение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по правилу параллелограмма:
Если два неколлинеарных вектора \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) привести к общему началу, то вектор \(\overrightarrow{с}=\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\) совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\). Причем начало вектора \(\overrightarrow{c}\) совпадает с началом заданных векторов.
Разностью \(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\) векторов называется вектор \(\overrightarrow{c}\) такой, что выполняется условие:
\(\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\).
Пусть вектор \(\overrightarrow{a}\) имеет началом точку \(A_1(x_1;y_1)\), а концом - точку \(A_2(x_2;y_2)\).
Координатами вектора \(\overrightarrow{a}\) называются числа \(a_1=x_2-x_1,~a_2=y_2-y_1\). Обозначают так: \(\overrightarrow{a}(a_1;a_2)\).
Координаты нулевого вектора равны нулю.
Длина вектора (или абсолютная величина вектора) \(\overrightarrow{a}(a_1;a_2)\) выражается формулой
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
И наоборот. Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Суммой векторов \(\overrightarrow{a}(a_1;a_2)\) и \(\overrightarrow{b}(b_1;b_2)\) называется вектор \(\overrightarrow{c}\) с координатами \((a_1+b_1, a_2+b_2)\).
- Умножение вектора на число
Произведением вектора \(\overrightarrow{(a_1;a_2)}\) на число \(\lambda\) называется вектор \(\overrightarrow{(\lambda a_1;\lambda a_2)}\), то есть
\(\lambda\overrightarrow{(a_1;a_2)} = \overrightarrow{(\lambda a_1;\lambda a_2)}\)
Пусть \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) - отличные от нуля коллинеарные векторы. Тогда существует число \(\lambda\) такое, что \(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\)
Углом между любыми двумя ненулевыми векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) называется угол между равными им векторами с общим началом (наименьший угол).
Угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°].
Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.
- Скалярное произведение векторов
- Скалярным произведением векторов \(\overrightarrow{a}(a_1;a_2)\) и \(\overrightarrow{b}(b_1;b_2)\) называется число \(a_1b_1+a_2b_2\), то есть:
\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
- Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, то есть:
\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos ∠(\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b})\)
Следовательно, если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное.
Из формул I и II скалярного произведения вытекает, что угол между векторами можно найти, используя формулу:
\(cos ∠(\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b})={\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \over{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}}= {a_1b_1+a_2b_2\over{ \sqrt {a_1^2+a_2^2}\sqrt {b_1^2+b_2^2}}}\)
Также, следствием, например, формулы II скалярного произведения есть следующий важный момент:
\(\overrightarrow{a}^2=|\overrightarrow{a}|^2\)
