Точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, связанные с его диагоналями и радиусом вписанной окружности следующими соотношениями:

\(d_1=2 \sqrt{AH \cdot AB}\)

\(d_2=2 \sqrt{BH \cdot AB}\)

\(r= \sqrt{AH \cdot HB}\)

Площадь ромба

Через сторону и высоту: \(S = ah\)

Через сторону и радиус вписанной окружности: \(S = 2ar\)

Через сторону и угол ромба: \(S=a^2sin~ \alpha\)

Через диагонали: \(S={d_1d_2 \over2}\)

Окружность, описанная около квадрата

Около квадрата можно описать окружность.

Радиус описанной окружности выражается через сторону \(a\) квадрата и его диагональ \(d\) следующим образом:

\(R={a \over \sqrt2}={d \over2}\)

Окружность, вписанная в квадрат

В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен половине стороны:

\(r={a\over 2}\)

Любую равнобокую трапецию можно вписать в окружность.

Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Если трапеция \(ABCD\) описана около окружности, то треугольники \(AOB ~и ~DOC\) прямоугольные (точка \(O\) - центр вписанной окружности).

Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы, равны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Четырехугольник, описанный около окружности

Четырехугольник можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны:

\(a+b=c+d\)

Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны

Площадь: \(S=pr\), где \(p={a+b+c+d\over 2}\) (полупериметр), \(r\) - радиус вписанной окружности.

Данная формула справедлива для любого многоугольника,
описанного около окружности.

Четырехугольник, вписанный в окружность

Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна 180°:

\(\alpha + \gamma= \beta + \sigma=180°\)

Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны 180°.

Теорема Птолемея

Сумма произведений противолежащих сторон равна произведению диагоналей:

\(ac+bd=d_1d_2\)

Площадь

\(S= {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\), где \(p={a+b+c+d\over 2}\) (полупериметр)

Методические материалы к уроку

Для того, чтобы открыть методический материал, необходимо записаться на урок.

Практикум

Для прохождения домашнего задания, вам необходимо записаться на урок.

Филимонова Елена Викторовна

подробнее о преподавателе

3 октября в 16:00

Урок 1

Вводное занятие. Натуральные числа

5 октября в 16:00

Урок 2

Целые числа. Делимость с остатком. НОД и НОК

10 октября в 16:00

Урок 3

Свойства НОД и НОК. Диофантовы уравнения

12 октября в 16:00

Урок 4

Диофантовы уравнения второго порядка

17 октября в 16:00

Урок 5

Простейшие текстовые задачи

Проценты. Формула сложных процентов

31 октября в 16:00

Урок 8

Текстовые задачи на работу и движение

2 ноября в 16:00

Урок 9

Основные понятия теории вероятности

Решение алгебраических уравнений

21 ноября в 16:00

Урок 13

Решение показательных и логарифмических уравнений

23 ноября в 16:00

Урок 14

Решение показательных и логарифмических уравнений

28 ноября в 16:00

Урок 15

Геометрическое определение тригонометрических функций. Тригонометрическая окружность

30 ноября в 16:00

Урок 16

Тригонометрические выражения

5 декабря в 16:00

Урок 17

Тригонометрические выражения. Продолжение

7 декабря в 16:00

Урок 18

Тригонометрические уравнения. Методы решения

12 декабря в 16:00

Урок 19

Методы решения тригонометрических уравнений. Продолжение

14 декабря в 16:00

Урок 20

Тригонометрические неравенства

19 декабря в 16:00

Урок 21

Определение производной

Возрастание и убывание функций. Задачи на экстремум

16 января в 16:00

Урок 24

Экономические задачи на наибольшее и наименьшее значения

18 января в 16:00

Урок 25

Экономические задачи (продолжение). Первообразная и интеграл

23 января в 16:00

Урок 26

Координатная плоскость. Отрезки. Прямые. Углы и треугольники

Трапеция. Четыреугольники. Векторы

6 февраля в 16:00

Урок 30

Окружность. Круг. Углы

8 февраля в 16:00

Урок 31

Окружности, связанные с треугольником, четырехугольником

13 февраля в 16:00

Урок 32

Задачи, связанные с окружностью

15 февраля в 16:00

Урок 33

Планиметрия. Повышенный уровень

20 февраля в 16:00

Урок 34

Планиметрия. Повышенный уровень

22 февраля в 16:00

Урок 35

Задачи с развернутым ответом

Углы между плоскостями. Углы между прямыми

20 марта в 16:00

Урок 41

Углы и расстояния в пространстве

22 марта в 16:00

Урок 42

Комбинированные задачи на многогранники

27 марта в 16:00

Урок 43

Стереометрия. Повышенный уровень

29 марта в 16:00

Урок 44

Стереометрия. Повышенный уровень

3 апреля в 16:00

Урок 45

Обобщенный метод интервалов

5 апреля в 16:00

Урок 46

Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства

10 апреля в 16:00

Урок 47

Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства. Повышенная сложность

12 апреля в 16:00

Урок 48

Показательные неравенства

17 апреля в 16:00

Урок 49

Логарифмические неравенства

19 апреля в 16:00

Урок 50

Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2017

24 апреля в 16:00

Урок 51

Комбинированные неравенства

119334, г. Москва,
Ленинский пр-т, 32а

Пн. – Пт.
10.00 – 20.00

Технические требования

Юридическая информация

Партнерская программа

Договор оферты

facebook vk

ok instagram

Пишите нам:

contact@academiarf.ru

Федеральная программа онлайн-обучения для школьников: возможность получить образование столичного уровня в регионах России.