Свойства числовых неравенств:

Если \(a>b\) и \(b>c\), то \(a>c\).

Если \(a>b\), то  \(a+c>b+c\).

Если \(a>b\) и \(m>0\), то \(am>bm\).

Если \(a>b\) и \(m<0\), то \(am\)<>

Если \(a>b\) и \(c>d\), то \(a+c>b+d\).

Если \(a,b,c,d\) больше \(0\) и \(a>b,c>d\), то \(ac>bd\).

Линейные неравенства

Линейное неравенство – это неравенство вида \(ax+b>0\)  (или \(ax+b<0\)), где \(a≠0\), a \(b\) – любое число. Ответом неравенства всегда будет интервал.

Квадратные неравенства

Квадратным неравенством называется неравенство вида \(ax^2+bx+c>0,\) где \(a,b,c\) какие-либо числа, \(a≠0\).

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени. Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

В отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель! Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!

Шаг 2. Метод интервалов.

Находим ОДЗ.Наносим на ось все корни неравенства.Берем произвольный x из одного из промежутков и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;

В ответ пишем интервалы, соблюдая выколотые и не выколотые точки (смотри ОДЗ), ставя необходимые виды скобок между ними.

Тригонометрические неравенства

Основной способ решения тригонометрических неравенств состоит в их сведении к неравенствам вида

\(sin~x\vee a,cos~x\vee a,tg~x\vee a, ctg~x\vee a,\)

где \(a \in R\), символ "\(\vee \)" означает знак сравнения и заменяет любой из знаков ">",   " ≥ ",   "<",  " ≤" и использовании следующих утверждений.

Утверждение 1. Множество решений неравенства

\(sin~x > a\)

есть:

R, если \(a < -1\);

\((arcsin~a + 2\pi k; \pi - arcsin~a + 2\pi k)\), если \( -1 ≤ a < 1\);

Пустое множество, если \(a ≥ 1\).

Утверждение 2. Множество решений неравенства

\(sin~x < a \)

есть:

R, если \(a > 1\);

\((-\pi - arcsin~a + 2\pi k;arcsin~a + 2\pi k)\), если \(-1 < a ≤ 1\);

Пустое множество, если \(a ≤ -1\).

Утверждение 3. Множество решений неравенства

\(cos~x > a\)

есть:

R, если \(a < -1\);

\((2\pi k -arccos~a; 2\pi k + arccos~a)\), если \(-1 ≤ a < 1\);

Пустое множество, если \(a ≥ 1\).

Утверждение 4. Множество решений неравенства

\(cos~x < a\)

есть:

R, если \(a > 1\);

\((2\pi k +arccos~a; 2\pi(k+1) - arccos~a )\), если \( -1 < a ≤ 1\);

Пустое множество, если \(a ≤ -1\).