
Ленинский пр-т, 32а
Свойства числовых неравенств:
Если \(a>b\) и \(b>c\), то \(a>c\).
Если \(a>b\), то \(a+c>b+c\).
Если \(a>b\) и \(m>0\), то \(am>bm\).
Если \(a>b\) и \(m<0\), то \(am\)<>
Если \(a>b\) и \(c>d\), то \(a+c>b+d\).
Если \(a,b,c,d\) больше \(0\) и \(a>b,c>d\), то \(ac>bd\).
Линейные неравенства
Линейное неравенство – это неравенство вида \(ax+b>0\) (или \(ax+b<0\)), где \(a≠0\), a \(b\) – любое число. Ответом неравенства всегда будет интервал.
Квадратные неравенства
Квадратным неравенством называется неравенство вида \(ax^2+bx+c>0,\) где \(a,b,c\) какие-либо числа, \(a≠0\).
Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.
Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:
Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени. Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.
В отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель! Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем!
Шаг 2. Метод интервалов.
Находим ОДЗ.Наносим на ось все корни неравенства.Берем произвольный x из одного из промежутков и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
В ответ пишем интервалы, соблюдая выколотые и не выколотые точки (смотри ОДЗ), ставя необходимые виды скобок между ними.
Тригонометрические неравенства
Основной способ решения тригонометрических неравенств состоит в их сведении к неравенствам вида
\(sin~x\vee a,cos~x\vee a,tg~x\vee a, ctg~x\vee a,\)
где \(a \in R\), символ "\(\vee \)" означает знак сравнения и заменяет любой из знаков ">", " ≥ ", "<", " ≤" и использовании следующих утверждений.
Утверждение 1. Множество решений неравенства
\(sin~x > a\)
есть:
R, если \(a < -1\);
\((arcsin~a + 2\pi k; \pi - arcsin~a + 2\pi k)\), если \( -1 ≤ a < 1\);
Пустое множество, если \(a ≥ 1\).
Утверждение 2. Множество решений неравенства
\(sin~x < a \)
есть:
R, если \(a > 1\);
\((-\pi - arcsin~a + 2\pi k;arcsin~a + 2\pi k)\), если \(-1 < a ≤ 1\);
Пустое множество, если \(a ≤ -1\).
Утверждение 3. Множество решений неравенства
\(cos~x > a\)
есть:
R, если \(a < -1\);
\((2\pi k -arccos~a; 2\pi k + arccos~a)\), если \(-1 ≤ a < 1\);
Пустое множество, если \(a ≥ 1\).
Утверждение 4. Множество решений неравенства
\(cos~x < a\)
есть:
R, если \(a > 1\);
\((2\pi k +arccos~a; 2\pi(k+1) - arccos~a )\), если \( -1 < a ≤ 1\);
Пустое множество, если \(a ≤ -1\).