«Академия»
Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Вводный курс 8 уроков, 8 часов
Урок 2. Выражения: алгебраические, показательные, логарифмические, тригонометрические
Задание 9

Урок

Смотреть запись урока  

Теория

Степени

Возвести число в степень \(n\) - значит умножить его на себя \(n\) раз:

\(a^n=\underbrace{a...a}_{n}\)

При этом \(a^0=1\)

Свойства степеней:

\(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\)

\({a^n\over a^m} = a^{n-m}\)

\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)

\((ab)^n=a^n\cdot b^n\)

\({({a\over b})}^n = {a^n\over b^n}\)

\(a^{-n}={1\over a^n}\)

\(a^{m\over n} = {\sqrt[n]{a^m}}\)

Формулы сокращённого умножения

\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\)

\((a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2\)

\(a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)

\((a\pm b)^3 = 3a^3\pm 3a^2b+3ab^2 \pm b^3\)

Разложение на множители квадратного трёхчлена

Если \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то

\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Модуль  числа

Модуль числа – это расстояние от числа до нуля.

\(|b|=b\), если \(b\) – положительное число.

\(|a|=a\), если \(a\) – отрицательное число.

Алгебраическое определение модуля: \(|a|=\begin {cases} a, \quad a \geq 0 \\ -a, \quad a<0 \end {cases}\)

Корень числа

\(\sqrt[n]a = b\), если \(a=b^n\)

Корень чётной степени можно найти только из неотрицательного числа!

Результат вычисления корня чётной степени тоже всегда неотрицателен по определению!

Если корень нечётной степени, то \(a\) и \(b\) – любые числа.

Свойства корней:

\(\sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b \)

\(\sqrt {a\over b} = {\sqrt a \over \sqrt b}\)

\((\sqrt[n] a)^n = a\)

\(\sqrt[2n+1] {a^{2n+1}} = |a|\)

\(\sqrt[2n] {a^{2n}} = |a|\)

Логарифмы

Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) - это показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\).

\(y = \log_ax\Leftrightarrow a^y=x\)

Свойства логарифмов:

Основное логарифмическое тождество \(a^{\log_ax}=x\)\(x>0\)\(a>0\)\(a\neq1\)

\( \log_aa=1\)\(a>0\)\(a\neq1\)

\( \log_a1=0\)\(a>0\)\(a \neq 1\)

\(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\)

\(\log_a{b\over c} = \log_ab - \log_ac\)

\(\log_ab^p=p\log_ab\)

\(\log_{a^k}b={1\over k}\log_ab\)

\(\log_ab= {1\over \log_ba}\)

\(\log_ab={\log_cb\over \log_ca}\)

Основное тригонометрическое тождество

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\);

\(tg^2\alpha+1={1\over \cos^2\alpha}\);

\(1+ctg^2\alpha={ 1\over \sin^2\alpha }\).

Формулы сложения

\(\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta\);

\(\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta\);

\(\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \cdot \cos\beta - \sin\alpha \cdot \sin\beta\);

\(\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta\);

\(tg(\alpha + \beta) = {{tg\alpha \ + \ tg\beta} \over {1 \ - \ tg\alpha \ \cdot \ tg\beta} }\);

\(tg(\alpha - \beta) = {{tg\alpha \ - \ tg\beta} \over {1 \ + \ tg\alpha \ \cdot \ tg\beta} }\);

\(ctg(\alpha + \beta) = {{ctg\alpha \ \cdot \ ctg\beta \ - \ 1} \over {ctg\alpha \ + \ ctg\beta} }\);

\(ctg(\alpha - \beta) = {{ctg\alpha \ \cdot \ ctg\beta \ + \ 1} \over {ctg\beta \ - \ ctg\alpha} }\).

Формулы двойного угла

\(\sin{2\alpha}=2{\sin\alpha} \cdot \cos\alpha\);

\(\cos{2\alpha}=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\);

\(\cos{2\alpha}=2{\cos^2\alpha}-1\);

\(\cos{2\alpha}=1-2{\sin^2\alpha}\);

\(tg2\alpha={2tg\alpha \over 1-tg^2\alpha}\);

\(ctg2\alpha={ctg^2\alpha-1 \over 2ctg\alpha}\).

Формулы тройного угла

\(\sin{3\alpha}=3{\sin\alpha} - 4{\sin^3\alpha}\);

\(\cos{3\alpha}=4{\cos^3\alpha}-3{\cos\alpha}\);

\(tg3\alpha={3tg\alpha - tg^3\alpha \over 1-3tg^2\alpha}\).

Формулы понижения степени

\(\cos^2\alpha = {1 \ + \ \cos{2\alpha} \over 2}\);

\(\sin^2\alpha = {1 \ - \ \cos{2\alpha} \over 2}\).

Формулы тангенса половинного угла

\(tg^2{\alpha \over 2} = {1 \ - \ \cos\alpha \over 1 \ + \ \cos\alpha}\);

\(tg{\alpha \over 2} = {1 \ - \ \cos\alpha \over \ \sin\alpha}\);

\(tg{\alpha \over 2} = {\sin\alpha \over 1 \ + \ \cos\alpha}\).

Универсальная подстановка

\(\sin\alpha = {2tg{\alpha \over 2} \over {1 \ + \ tg^2{\alpha \over 2}}}\);

\(\cos\alpha = {1 \ - \ tg^2{\alpha \over 2} \over {1 \ + \ tg^2{\alpha \over 2}}}\);

\(tg\alpha = {2tg{\alpha \over 2} \over {1 \ - \ tg^2{\alpha \over 2}}}\);

\(ctg\alpha = {1 \ - \ tg^2{\alpha \over 2} \over {2tg{\alpha \over 2}}}\).

Суммы и произведения тригонометрических функций

\(\sin\alpha \ + \ \sin\beta=2{\sin{\alpha + \beta \over 2}}\cdot \cos{\alpha - \beta \over 2}\);

\(\sin\alpha \ - \ \sin\beta=2{\sin{\alpha - \beta \over 2}}\cdot \cos{\alpha + \beta \over 2}\);

\(\cos\alpha \ + \ \cos\beta=2{\cos{\alpha + \beta \over 2}}\cdot \cos{\alpha - \beta \over 2}\);

\(\cos\alpha \ - \ \cos\beta=2{\sin{\alpha + \beta \over 2}}\cdot \sin{\alpha - \beta \over 2}\);

\(tg\alpha \ + \ tg\beta = {\sin(\alpha+\beta)\over \cos\alpha \ \cdot \ \cos\beta}\);

\(tg\alpha \ - \ tg\beta = {\sin(\alpha-\beta)\over \cos\alpha \ \cdot \ \cos\beta}\);

\(ctg\alpha \ + \ ctg\beta = {\sin(\alpha+\beta)\over \sin\alpha \ \cdot \ \sin\beta}\);

\(ctg\alpha \ - \ ctg\beta = {\sin(\beta- \alpha)\over \sin\alpha \ \cdot \ \sin\beta}\);

\(tg\alpha \ + \ ctg\beta = {\cos(\alpha-\beta)\over \cos\alpha \ \cdot \ \sin\beta}\);

\(ctg\alpha \ - \ tg\beta = {\cos(\alpha+\beta)\over \sin\alpha \ \cdot \ \cos\beta}\);

\(2{\cos\alpha}\cdot \cos\beta = \cos(\alpha+\beta) \ + \ \cos(\alpha-\beta)\);

\(2{\sin\alpha}\cdot \sin\beta = \cos(\alpha-\beta) \ - \ \cos(\alpha+\beta)\);

\(2{\sin\alpha}\cdot \cos\beta = \sin(\alpha+\beta) \ + \ \sin(\alpha-\beta)\).

Дополнительные уроки на тему

Методические материалы к уроку

Для того, чтобы открыть методический материал, необходимо записаться на урок.

Практикум

Для прохождения домашнего задания, вам необходимо записаться на урок.
Филимонова Елена Викторовна
(звонок бесплатный) (беспл.)
8 (499) 390 71 57
119334, г. Москва,
Ленинский пр-т, 32а
Пн. – Пт.
10.00 – 20.00
Федеральная программа онлайн-обучения для школьников: возможность получить образование столичного уровня в регионах России.
©2018 Все права защищены.