Степени
Возвести число в степень \(n\) - значит умножить его на себя \(n\) раз:
\(a^n=\underbrace{a...a}_{n}\)
При этом \(a^0=1\)
Свойства степеней:
\(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\)
\({a^n\over a^m} = a^{n-m}\)
\((a^n)^m=a^{n\cdot m}\)
\((ab)^n=a^n\cdot b^n\)
\({({a\over b})}^n = {a^n\over b^n}\)
\(a^{-n}={1\over a^n}\)
\(a^{m\over n} = {\sqrt[n]{a^m}}\)
Формулы сокращённого умножения
\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\)
\((a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2\)
\(a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\)
\((a\pm b)^3 = 3a^3\pm 3a^2b+3ab^2 \pm b^3\)
Разложение на множители квадратного трёхчлена
Если \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\), то
\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)
Модуль числа
Модуль числа – это расстояние от числа до нуля.
\(|b|=b\), если \(b\) – положительное число.
\(|a|=a\), если \(a\) – отрицательное число.
Алгебраическое определение модуля: \(|a|=\begin {cases} a, \quad a \geq 0 \\ -a, \quad a<0 \end {cases}\)
Корень числа
\(\sqrt[n]a = b\), если \(a=b^n\)
Корень чётной степени можно найти только из неотрицательного числа!
Результат вычисления корня чётной степени тоже всегда неотрицателен по определению!
Если корень нечётной степени, то \(a\) и \(b\) – любые числа.
Свойства корней:
\(\sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b \)
\(\sqrt {a\over b} = {\sqrt a \over \sqrt b}\)
\((\sqrt[n] a)^n = a\)
\(\sqrt[2n+1] {a^{2n+1}} = |a|\)
\(\sqrt[2n] {a^{2n}} = |a|\)
Логарифмы
Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) - это показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\).
\(y = \log_ax\Leftrightarrow a^y=x\)
Свойства логарифмов:
Основное логарифмическое тождество \(a^{\log_ax}=x\), \(x>0\), \(a>0\), \(a\neq1\)
\( \log_aa=1\), \(a>0\), \(a\neq1\)
\( \log_a1=0\), \(a>0\), \(a \neq 1\)
\(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\)
\(\log_a{b\over c} = \log_ab - \log_ac\)
\(\log_ab^p=p\log_ab\)
\(\log_{a^k}b={1\over k}\log_ab\)
\(\log_ab= {1\over \log_ba}\)
\(\log_ab={\log_cb\over \log_ca}\)
Основное тригонометрическое тождество
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\);
\(tg^2\alpha+1={1\over \cos^2\alpha}\);
\(1+ctg^2\alpha={ 1\over \sin^2\alpha }\).
Формулы сложения
\(\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta\);
\(\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta\);
\(\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \cdot \cos\beta - \sin\alpha \cdot \sin\beta\);
\(\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta\);
\(tg(\alpha + \beta) = {{tg\alpha \ + \ tg\beta} \over {1 \ - \ tg\alpha \ \cdot \ tg\beta} }\);
\(tg(\alpha - \beta) = {{tg\alpha \ - \ tg\beta} \over {1 \ + \ tg\alpha \ \cdot \ tg\beta} }\);
\(ctg(\alpha + \beta) = {{ctg\alpha \ \cdot \ ctg\beta \ - \ 1} \over {ctg\alpha \ + \ ctg\beta} }\);
\(ctg(\alpha - \beta) = {{ctg\alpha \ \cdot \ ctg\beta \ + \ 1} \over {ctg\beta \ - \ ctg\alpha} }\).
Формулы двойного угла
\(\sin{2\alpha}=2{\sin\alpha} \cdot \cos\alpha\);
\(\cos{2\alpha}=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\);
\(\cos{2\alpha}=2{\cos^2\alpha}-1\);
\(\cos{2\alpha}=1-2{\sin^2\alpha}\);
\(tg2\alpha={2tg\alpha \over 1-tg^2\alpha}\);
\(ctg2\alpha={ctg^2\alpha-1 \over 2ctg\alpha}\).
Формулы тройного угла
\(\sin{3\alpha}=3{\sin\alpha} - 4{\sin^3\alpha}\);
\(\cos{3\alpha}=4{\cos^3\alpha}-3{\cos\alpha}\);
\(tg3\alpha={3tg\alpha - tg^3\alpha \over 1-3tg^2\alpha}\).
Формулы понижения степени
\(\cos^2\alpha = {1 \ + \ \cos{2\alpha} \over 2}\);
\(\sin^2\alpha = {1 \ - \ \cos{2\alpha} \over 2}\).
Формулы тангенса половинного угла
\(tg^2{\alpha \over 2} = {1 \ - \ \cos\alpha \over 1 \ + \ \cos\alpha}\);
\(tg{\alpha \over 2} = {1 \ - \ \cos\alpha \over \ \sin\alpha}\);
\(tg{\alpha \over 2} = {\sin\alpha \over 1 \ + \ \cos\alpha}\).
Универсальная подстановка
\(\sin\alpha = {2tg{\alpha \over 2} \over {1 \ + \ tg^2{\alpha \over 2}}}\);
\(\cos\alpha = {1 \ - \ tg^2{\alpha \over 2} \over {1 \ + \ tg^2{\alpha \over 2}}}\);
\(tg\alpha = {2tg{\alpha \over 2} \over {1 \ - \ tg^2{\alpha \over 2}}}\);
\(ctg\alpha = {1 \ - \ tg^2{\alpha \over 2} \over {2tg{\alpha \over 2}}}\).
Суммы и произведения тригонометрических функций
\(\sin\alpha \ + \ \sin\beta=2{\sin{\alpha + \beta \over 2}}\cdot \cos{\alpha - \beta \over 2}\);
\(\sin\alpha \ - \ \sin\beta=2{\sin{\alpha - \beta \over 2}}\cdot \cos{\alpha + \beta \over 2}\);
\(\cos\alpha \ + \ \cos\beta=2{\cos{\alpha + \beta \over 2}}\cdot \cos{\alpha - \beta \over 2}\);
\(\cos\alpha \ - \ \cos\beta=2{\sin{\alpha + \beta \over 2}}\cdot \sin{\alpha - \beta \over 2}\);
\(tg\alpha \ + \ tg\beta = {\sin(\alpha+\beta)\over \cos\alpha \ \cdot \ \cos\beta}\);
\(tg\alpha \ - \ tg\beta = {\sin(\alpha-\beta)\over \cos\alpha \ \cdot \ \cos\beta}\);
\(ctg\alpha \ + \ ctg\beta = {\sin(\alpha+\beta)\over \sin\alpha \ \cdot \ \sin\beta}\);
\(ctg\alpha \ - \ ctg\beta = {\sin(\beta- \alpha)\over \sin\alpha \ \cdot \ \sin\beta}\);
\(tg\alpha \ + \ ctg\beta = {\cos(\alpha-\beta)\over \cos\alpha \ \cdot \ \sin\beta}\);
\(ctg\alpha \ - \ tg\beta = {\cos(\alpha+\beta)\over \sin\alpha \ \cdot \ \cos\beta}\);
\(2{\cos\alpha}\cdot \cos\beta = \cos(\alpha+\beta) \ + \ \cos(\alpha-\beta)\);
\(2{\sin\alpha}\cdot \sin\beta = \cos(\alpha-\beta) \ - \ \cos(\alpha+\beta)\);
\(2{\sin\alpha}\cdot \cos\beta = \sin(\alpha+\beta) \ + \ \sin(\alpha-\beta)\).
