Производная функции \(y = f(x)\) в точке \(x\) выражает скорость изменения функции в точке \(x\).

Процесс вычисления производных называют дифференцированием.

Правила дифференцирования функций:

 \((u+v)'=u'+v'\)

Производная суммы равна сумме производных.

\((cu)'=cu'\),     где \(c=const\)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

\((uv)'=u'v+v'u\)

Производная произведения равна "производная первого сомножителя, умноженная на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый".

\((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}\)

Производная дроби равна "производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и деленные на знаменатель в квадрате".

Основные формулы дифференцирования

\((с)'=0\), где \(c=const\)

\((x)'=1\)

\((x^{n}​)'=nx^{n-1}\)

 \((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\((e^x)'=e^x\)

\((a^x)'=a^xlna\)

\((lnx)'=\frac{1}{x}\)

\((sinx)'=cosx\)

\((cosx)'=-sinx\)

\((tgx)'=\frac{1}{cos^2x}\)

\((ctgx)'=-\frac{1}{sin^2x}\)

Задачи, приводящие к понятию производной

Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.

А что такое касательная к графику функции? Часто на этот вопрос школьники и даже студенты пытаются ответить: "Прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции." Это не так. Одну общую точку касательная и график функции, как правило, имеют только в локальной окрестности этой точки, за пределами такой окрестности могут быть разные варианты "взаимодействия" прямой и графика. И даже из этого правила существуют исключения. Например, задумайтесь о том, что такое касательные к графику линейной функции? Сколько общих точек с графиком функции \(y = sinx\) имеет прямая \(y = 1\)?

Касательная — это предельное положение секущей.

Понятие предела здесь неразрывно связано с понятием производной.

Пусть даны функция \(y = f(x)\) и точка \(M(x_0; f(x_0))\) на графике этой функции. Пусть известно, что при \(x = x_0\) существует производная этой функции \(f '(x_0)\). Тогда уравнение касательной в точке с абсциссой \(x_0\) имеет вид: \(y = f '(x_0)\cdot (x − x_0) + f(x_0)\).

Однако для решения ряда задач проще применять не само уравнение, а те соображения, из которых его выводили:

уравнение любой прямой имеет вид \(y = kx + b\);

если прямая является касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), то её угловой коэффициент совпадает с производной функции в этой точке, т.е. \(k = f '(x_0)\);

точка касания принадлежит как прямой, так и графику функции, это означает, что её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, и подставляя в уравнение прямой и в выражение для функции значение абсциссы \(x_0\), мы должны получить одинаковые значения для ординаты \(y\), т.е. \(kx_0 + b = f(x_0)\).

Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью \(y = f(x)\).

Это может означать, например, следующее:

Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.

Если же мы рассматриваем в качестве функции мгновенную скорость автомобиля, то производная задает изменение его ускорения.

Если мы рассматриваем функцию, задающую зависимость объема произведенной продукции от времени, то производная позволит узнать, как изменялась со временем производительность труда на этом предприятии.

Если мы рассматриваем электромагнитные волны, то нам могут потребоваться функции, характеризующие изменение со временем электрического и магнитного полей, а также их производные — скорости изменения этих полей, ведь величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля. И т.п.

Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная \(y\), заданная функцией \(f(x)\) измеряется в некоторых единицах \([y]\), а её аргумент в единицах \([x]\), то производная (скорость) измеряется в единицах \([y/x]\).

Производная сложной функции

f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x)

Возрастание и убывание функции

Если \(f'(x) > 0\) на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если \(f'(x) {<} 0\) на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

Точки максимума и минимума функции объединяются общим названием — точки экстремума.

В этих точках производная функции либо равна нулю, либо не существует (необходимое условие экстремума).
Однако необходимое условие — это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с "\(+\)" на "\(−\)", то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с "\(−\)" на "\(+\)" , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.