Задачи на движение

Равномерное движение по прямой

1)    Величины пройденного пути \(S\), времени \(t\) и скорости \(V\) (согласованные в единицах измерения) связаны соотношением:

\(S=t \cdot V\)

2)    Если объект на разных участках пути движется с постоянными, но разными скоростями, то под средней скоростью движения понимают отношение длины суммарного пройденного пути к затраченному на прохождение всех участков пути времени (а не среднее арифметическое скоростей): 

\(V_{ср} = {S_{полн} \over t_{полн}}\)

3)    Если два объекта, первоначально находящиеся на расстоянии \(S\) друг от друга, движутся навстречу друг другу со скоростями \(V_1\) и  \(V_2\)соответственно, то время через которое они встретятся, находится по формуле:

\(t = {S \over V_1+V_2}\)

(в данном случае скорость их сближения равна \(V_1 + V_2\) )

4)    Если два объекта движутся в одном направлении со скоростями  \(V_1\) и  \(V_2\)соответственно \((V_1>V_2)\) так, что первый нагоняет второго, то время, через которое произойдет их встреча, находится по формуле:

\(t = {S \over V_1-V_2}\)

Равномерное движение по окружности

Пусть два объекта начинают движение по окружности радиуса \(R\) из одной точки окружности, двигаясь со скоростями \(V_1\) и \(V_2\) соответственно. Обозначим длину окружности:

\(S=2\pi R\)

1)    Если объекты движутся в противоположенных направлениях, то для нахождения времени их новой встречи используется формула:

\(t = {S \over V_1 + V_2}\)

2)    Если же объекты движутся в одном направлении, то движущийся более быстро 1-й объект первый раз обгонит 2-й объект через время: 

\(t = {S \over V_1 + V_2}\)

т.е. он пройдет на один круг \(S\) больше. Второй раз он обгонит 2-й объект через время 

\(t = {2S \over V_1 + V_2}\)

Проценты

Процент – это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %.

Существует следующие основные типы задач на проценты:

Задача 1.  Найти указанный процент от заданного числа.

Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.

Пример: Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?

Решение: 10000 · 6 : 100 = 600 руб.

Задача 2. Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.

Заданное число делится на его процентное выражение и результат умножается на 100.

Пример: Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7.5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

Решение: 1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб.

Задача 3. Найти процентное выражение одного числа от другого.

Первое число делится на второе и результат умножается на 100.

Пример:  Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году –  только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

Решение: 36000 : 40000 · 100 = 90%

Задачи на концентрацию

Пусть, например, имеется некоторая смесь, состоящая из трех газов. Пусть 1-й газ занимает объем  \(V_1\), 2-й  и 3-й газы соответсвенно  \(V_2 \) и \(V_3\);  \(V\) - суммариный объем смеси, т.е.  \(V= V_1+V_2+V_3\)

Тогда (объемной) концентрацией 1-го газа называется безразмерная величина, равная отношению  \(c_1 = {V_1 \over V}\)

Аналогично вводятся концентрации каждой из двух оставшихся компонентов смеси:   \(c_2 = {V_2 \over V}\)  и  \(c_3 = {V_3 \over V}\)

Заметим, что сумма всех концентраций (по всем компонентам смеси) всегда составляет единицу:   \( c_1+c_2+c_3=1\).

Концентрация может принимать значение от \(0\) (если данный компонент отсутствует в смеси) до \(1\) (если вся смесь фактически состоит из одного единственного компонента).

В задачах  задаются, например, две смеси с объемами (массами)  \(V_1\)и  \(V_2\) и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно  \( c_1\)  и  \(c_2\). Смеси сливают (сплавляют, смешивают). Требуется определить объем (массу) этого вещества в новой смеси и его новую концентрацию.

Легко получаем, пользуясь определением, что в новой смеси объем данного вещества определяется выражением  \( c_1V_1+c_2V_2\) , т.е. равен сумме объемов данного вещества в отдельных смесях, а концентрация данного вещества равна

 \(c = { c_1V_1+c_2V_2 \over V_1+V_2} \)

Сложные проценты

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов (периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов).

\(x\bigg(1+0,01a\bigg)^{n}\)

где                       

х - начальный вклад, сумма.

a – процент(ы) годовых

n - время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену (периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов), поэтому эту формулу можно записать и по-другому:

\(x\bigg(1-0,01a\bigg)^{n}\)

Экономические задачи

Для нахождения суммы \(R\) у.е., которую следует внести в настоящий момент в банк по ставке \(p\) \(\%\) годовых для того, чтобы через \(n\)  лет получить \(S\) у.е., можно воспользоваться формулой:

\(S = R \cdot (1+ {p \over 100})^n\)

Из этой формулы следует:

\(R = {S \over (1+ {p \over 100})^n}\)

Величину \(R\) называют современной стоимостью платежа \(S\), осуществляемого через \(n\) лет. Процесс нахождения сегодняшней стоимости платежа, осуществляемого через некоторое  время, называется дисконтированием, а число \({1 \over (1+ {p \over 100})^n}\)  называется дисконтирующим множителем.