«Академия»
Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Вводный курс 8 уроков, 8 часов
Урок 6. Геометрия: планиметрия, стереометрия
Задания 6, 14, 16

Урок

Смотреть запись урока  

Теория

Основные сведения

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки.

Градусная мера угла может принимать значения от 0 до 180 включительно.

Угол α называется острым, если 0<α<90, прямым – если α=90, тупым – если 90<α<180, и развернутым – если α=180 .

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Смежные углы α и β в сумме дают 180 . Вертикальные углы равны.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника).

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90∘ .

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема. В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, медианы пересекаются в одной точке.

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

На плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180 , то такие прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 .

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона - основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны. Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника. В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.

Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 .

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 , равен половине гипотенузы. Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30 .

Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету 

Дополнительные уроки на тему

Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 26. Координатная плоскость. Отрезки. Прямые. Углы и треугольники Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 27. Треугольники Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 28. Параллелограмм Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 29. Трапеция. Четыреугольники. Векторы Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 30. Окружность. Круг. Углы Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 31. Окружности, связанные с треугольником, четырехугольником Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 32. Задачи, связанные с окружностью Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 33. Планиметрия. Повышенный уровень Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 34. Планиметрия. Повышенный уровень Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 35. Задачи с развернутым ответом Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 36. Куб. Параллелепипед Бесплатно. ЕГЭ. Математика. Годовой курс Урок 37. Призма. Пирамида

Методические материалы к уроку

Для того, чтобы открыть методический материал, необходимо записаться на урок.

Практикум

Для прохождения домашнего задания, вам необходимо записаться на урок.
Филимонова Елена Викторовна
(звонок бесплатный) (беспл.)
8 (499) 390 71 57
119334, г. Москва,
Ленинский пр-т, 32а
Пн. – Пт.
10.00 – 20.00
Федеральная программа онлайн-обучения для школьников: возможность получить образование столичного уровня в регионах России.
©2018 Все права защищены.