Основные сведения

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки.

Градусная мера угла может принимать значения от 0^∘ до 180^∘ включительно.

Угол α называется острым, если 0^∘<α<90^∘, прямым – если α=90^∘, тупым – если 90^∘<α<180^∘, и развернутым – если α=180^∘ .

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Смежные углы α и β в сумме дают 180^∘ . Вертикальные углы равны.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника).

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90∘ .

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема. В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, медианы пересекаются в одной точке.

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

На плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы:

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180^∘ , то такие прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна 180^∘ .

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона - основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны. Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника. В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.

Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^∘ .

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30^∘ , равен половине гипотенузы. Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30^∘ .

Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету