
Ленинский пр-т, 32а
Основные сведения
Определения
Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки.
Градусная мера угла может принимать значения от 0∘ до 180∘ включительно.
Угол α называется острым, если 0∘<α<90∘, прямым – если α=90∘, тупым – если 90∘<α<180∘, и развернутым – если α=180∘ .
Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.
Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.
Смежные углы α и β в сумме дают 180∘ . Вертикальные углы равны.
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника).
Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.
Признаки равенства треугольников
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90∘ .
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теорема. В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, медианы пересекаются в одной точке.
Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
На плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.
Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
Следствия из аксиомы:
1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Теоремы: признаки параллельности прямых
1. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180∘ , то такие прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.
Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.
Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).
Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).
Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна 180∘ .
Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона - основанием.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны. Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.
Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теоремы: признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Теорема: неравенство треугольника. В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.
Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.
Теоремы: свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90∘ .
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30∘ , равен половине гипотенузы. Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30∘ .
Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету