Функции и их свойства
Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной \(y\) от переменной \(x\), при которой каждому значению переменной \(x\) соответствует единственное значение переменной \(y\).
Переменную \(x\) называют независимой переменной или аргументом. Переменную \(y\) называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная \(y\) является функцией от переменной \(x\). Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной \(y\) от переменной \(x\) является функцией, то коротко это записывают так: \(y=f(x)\). (Читают: \(y\) равно \(f\) от \(x\).) Символом \(f(x)\) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному \(x\).
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Способы задания функции:
1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3. описательный способ (функция задается словесным описанием);
4. графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Основные свойства функций:
1. Нули функции
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
2. Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
3. Возрастание (убывание) функции
Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
4. Четность (нечетность) функции
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого \(x\) из области определения выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, \(y=x^2\) - четная функция.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого \(x\) из области определения справедливо равенство \(f(-x) = - f(x)\). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например: \(y=x^3\) - нечетная функция.
Функция общего вида не является четной или нечетной \( (y = x^2+x)\).
Общее уравнение прямой
\(ax + by + с = 0\)
(коэффициенты \(a, b\) не равны нулю одновременно; они являются координатами вектора \(\overrightarrow {(a; b)}\), перпендикулярного данной прямой)
Частные случаи
- Прямая, проходящая через начало координат под углом к координатным осям (график прямой пропорциональности).
 |
\((a≠0, b≠0, c=0)⇒ax+by=0\)
\(y =- {a \over b}x\)
|
- Прямая, параллельная оси X
 |
\((a=0, b≠0, c≠0)⇒by+c=0\)
\(y =- {c \over b}\)
|
- Прямая, параллельная оси Y
 |
\((a≠0, b=0, c≠0)⇒ax+c=0\)
\(x =- {c \over a}\)
|
 |
\((a=0, b≠0, c=0)⇒by=0\)
\(y=0\)
|
 |
\((a≠0, b=0, c=0)⇒ax=0\)
\(x = 0\)
|
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
\(y=kx+b; k=tg ~\alpha\)
|
\(k>0\) при \(0° < \alpha <90°\) |
\(k<0\) при \(90° < \alpha <180°\) |
Частные случаи
- График прямой пропорциональности
 |
\(b=0, k≠0\)
\(y=kx\)
|
- Прямая, параллельная оси X
 |
\(b=0, k≠0\)
\(y=b\)
|
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
 |
\((y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)\)
Если \(x_1≠x_2, y_1≠y_2\), это уравнение можно записать в виде:
\({y-y_1 \over y_2-y_1}={x-x_1 \over x_2-x_1}\)
|
Уравнение прямой на отрезках на осях
 |
\({x \over a}+ {y \over b}=1\)
\((a≠0, b≠0)\)
|
Квадратичная функция
\(y=ax^2+bx+c\), где \(a≠0\)
График - парабола
Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента \(a\) и дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\)
Степенные функции с натуральными показателями степени
\(y=x^n\), где \(n∈N\)
Примеры графиков:
Степенные функции с целыми отрицательными показателями степени
\(y=x^{-n}\), где \(n∈N\)
Примеры графиков:
Функции
\(y=\sqrt[n]{x}\), где \(n∈N\)
Примеры графиков
Степенные функции с действительными показателями степени
\(y=x^\alpha\), где \(\alpha ∈ R\)
