
Ленинский пр-т, 32а
Треугольники
![]() |
Теорема косинусов: \(c^2=a^2+b^2-2ab~cos γ\) |
![]() |
Теорема синусов: \({a \over sin~α}={b \over sin~β}={c \over sin~γ}\). Это отношение равно \(2R\), где \(R\) - радиус описанной окружности. |
Свойства биссектрис
![]() |
Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. |
![]() |
Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: \( {a_1 \over a_2}= {b \over c}\) |
Вписанная и описанная окружности
![]() |
В любой треугольник можно вписать окружность. \(r=S/p\), где \(S\) - площадь треугольника, |
![]() |
Около любого треугольника можно описать окружность. \(R= {abc \over 4S}\), где \(S\) - площадь треугольника. |
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
![]() |
Радиус вписанной окружности: \(r={ab\over a+b+c}\), |
![]() |
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен:
|
Окружность, описанная около прямоугольника
![]() |
Около любого прямоугольника можно описать окружность. Радиус описанной окружности: \(R={d \over 2}\), где \(d= \sqrt {a^2+b^2}\) - диагональ прямоугольника. |
Окружность, вписанная в ромб
![]() |
В любой ромб можно вписать окружность. Радиус \(r\) вписанной окружности удовлетворяет соотношениям: \(r={h \over 2}\), где \(h\) - высота ромба, \(r={d_1d_2 \over 4a}\), где \(d_1 ~и ~d_2\) - диагонали ромба, \(a\) - его сторона |
![]() |
Точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, связанные с его диагоналями и радиусом вписанной окружности следующими соотношениями: \(d_1=2 \sqrt{AH \cdot AB}\) \(d_2=2 \sqrt{BH \cdot AB}\) \(r= \sqrt{AH \cdot HB}\) |
Площадь ромба
![]() |
Через сторону и высоту: \(S = ah\) Через сторону и радиус вписанной окружности: \(S = 2ar\) Через сторону и угол ромба: \(S=a^2sin~ \alpha\) Через диагонали: \(S={d_1d_2 \over2}\) |
Окружность, описанная около квадрата
![]() |
Около квадрата можно описать окружность. Радиус описанной окружности выражается через сторону \(a\) квадрата и его диагональ \(d\) следующим образом: \(R={a \over \sqrt2}={d \over2}\) |
Окружность, вписанная в квадрат
![]() |
В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен половине стороны: \(r={a\over 2}\) |
Окружность, описанная и вписанная в трапецию
![]() |
Любую равнобокую трапецию можно вписать в окружность. Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. |
![]() |
Если трапеция \(ABCD\) описана около окружности, то треугольники \(AOB ~и ~DOC\) прямоугольные (точка \(O\) - центр вписанной окружности). Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы, равны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. |
Четырехугольник, описанный около окружности
![]() |
Четырехугольник можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны: \(a+b=c+d\) Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны |
Площадь: \(S=pr\), где \(p={a+b+c+d\over 2}\) (полупериметр), \(r\) - радиус вписанной окружности. Данная формула справедлива для любого многоугольника, |
Четырехугольник, вписанный в окружность
![]() |
Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна 180°: \(\alpha + \gamma= \beta + \sigma=180°\) Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны 180°. |
![]() |
Теорема Птолемея Сумма произведений противолежащих сторон равна произведению диагоналей: \(ac+bd=d_1d_2\) |
![]() |
Площадь \(S= {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\), где \(p={a+b+c+d\over 2}\) (полупериметр) |