Произвольный треугольник
Соотношения между сторонами и угламми
 |
Неравенство треугольника
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности:
\(|a-b| < c < a+b\)
|
 |
Сумма углов треугольника равна 180°:
\(\alpha+\beta+\gamma=180°\)
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол:
\(b>a⇔ \beta> \alpha\)
|
 |
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
\(\sigma= \alpha + \beta\)
|
 |
Теорема косинусов:
\(c^2=a^2+b^2-2ab~cos γ\)
|
 |
Теорема синусов:
\({a \over sin~α}={b \over sin~β}={c \over sin~γ}\).
Это отношение равно \(2R\), где \(R\) - радиус описанной окружности.
|
Признаки равенства треугольников
|
По двум сторонам и углу между ними
|
По одной стороне и двум прилежащим к ней углам
|
По трем сторонам
|
Признаки подобия треугольников
|
По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:
\({a \over a_1}= {b \over b_1}\)
|
По двум равным углам.
|
По трем пропорциональным сторонам:
\({a \over a_1}= {b \over b_1}= {c \over c_1}\)
|
Свойства медиан
 |
Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника). |
 |
Каждая медиана точкой пересечения медиан делится в отношении 2:1, считая от вершины. |
|
Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади).
|
 |
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. |
 |
Длина медианы
\(m_a={1 \over 2} \sqrt{2b^2+2c^2 -a^2}\)
|
Свойства биссектрис
 |
Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника.
Эта точка является центром вписанной окружности.
|
 |
Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
\( {a_1 \over a_2}= {b \over c}\)
|
|
Биссектрисы внутреннего и внешнего угла перпендикулярны.
Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то \({BD \over AD}= {BC \over AC}\)
|
|
|
Длина биссектрисы
\(l_a={2bc~cos~ {\alpha \over 2}\over b+c}\)
\(l_a^2=bc-b_1c_1\)
|
Свойства высот
 |
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.
Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. |
|
|
Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. |
 |
Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника
(продолжения высот и сторон, образующих тупой угол, проведены пунктиром). |
 |
Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
\(h_a:h_b:h_c={1 \over a}:{1 \over b}: {1 \over c}\)
|
 |
Длина высоты:
\(h_a=b~sin~\gamma=c~sin~\beta\)
\(h_a={2S \over a}={2 \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \over a}\),
где \(p={a+b+c \over 2}\)
|
Свойства средней линии
 |
Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине:
\(MN \parallel AC;~ MN={1\over 2}AC\)
Она отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия \(1/2\)
|
 |
Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия \(1/2\). |
Площадь треугольника
|
|
Через сторону и высоту, проведенную к ней:
\(S={1 \over2}ah_a\)
|
|
|
Через две стороны и угол между ними:
\(S={1 \over2}ab ~sin \gamma\)
|
|
|
Формула Герона
Через три стороны:
\(S= \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}\),
где \(p={a+b+с \over 2}\)
|
|
|
Через полупериметр и радиус вписанной окружности:
\(S=pr\),
где \(p={a+b+с \over2}\).
|
|
|
Через произведение сторон и радиус описанной окружности:
\(S={abc\over4R}\)
|
Площадь прямоугольного треугольника
 |
Через катеты: \(S={1\over2}ab\)
Через катет и острый угол:
\(S={1\over2}a^2tgβ={1\over2}a^2ctgα\)
Через гипотенузу и любой из острых углов:
\(S={1\over4}c^2sin~2α={1\over4}c^2sin~2β\)
|
