Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности; равенство отрезков касательных, проведённых из одной точки. Вписанная и описанная окружность.

Урок

Смотреть запись урока

Теория

Окружность

Прямые и отрезки, связанные с окружностью

Углы, связанные с окружностью. Угловая мера дуги окружности

Угловой мерой дуги окружности является центральный угол, который опирается на эту дугу

Радианная мера угла

Угол в один радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

\(1~радиан\approx 57°17'45''\)
\(1°={\pi \over 18°} ~ радиан\)
\({\pi} ~ радиан = 180°\)
\({\pi \over 2} ~ радиан = 90°\)

Свойства вписанных углов

	Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: \(β = {α \over 2}\)
	Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
	Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.
	Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°: \(α+β=180°\)
	Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Углы между хордами, касательными и секущими

	Угол между пересекающимися хордами: \(γ = {α+β \over 2}\)
	Угол между секущими, пересекающимися вне окружности: \(γ = {β-α \over 2}\)
	Угол между касательной и секущей: \(γ = {β-α \over 2}\)
	Угол между касательными: \(γ = {β-α \over 2}=\pi - α \)
	Угол между касательной и хордой: \(γ = {α \over 2}\)

Свойства хорд

	Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны. Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности.
	Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности.
	Наибольшая хорда является диаметром.
	Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.
	Длина хорды: \(l=2R~sin{α\over 2}=2R~sin{β}\).

Соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

\(ab=cd\)

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:

\(АВ = АС\)

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки:

\(AB^2=AC \cdot AD\)

Площадь круга и его частей

	Площадь круга: \(S=pr^2\)
	Площадь сектора: \(S={1\over 2}αr^2\) (угол \(α\) в радианах).
	Площадь сегмента: \(S={1\over 2}(α-sin~α)r^2\) (угол \(α\) в радианах).