
Ленинский пр-т, 32а
Числа \(1, 2, 3, ..., 2002,…\) являются натуральными.
Натуральное число – одно из основных понятий математики.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать заглавной латинской буквой \(N\).
Множество натуральных чисел замкнуто (не выводит за пределы) относитльно арифметических операций сложения и умножения. Это означает, что если сложить два любых натуральных числа, то результатом будет натуральное число. То же самое относится к операции умножения.
Операции вычитания и деления могут вывести за пределы множества \(N\).
В десятичной позиционной системе счисления (арабской) натуральное число \(n\) представляется в виде
\(n = a_ka_{k-1} ... a_2a_1a_0 = a_k 10^k+a_{k-1}*10^{k-1}+ ... +a_1*10^1+a_0*10^0\), где \(a_i, (i = 0, ... , k)\) цифры от \(0\) до \(9\), причем \(ak\neq 0\).
Пусть \(n\) и \(m\) – натуральные числа, \(n\) делится нацело (без остатка) на \(m\), если существует натуральное число \(k\), такое, что \(n=mk\). Числа \(m,n\) и \(k\) при этом называют соответсвенно делимым, делителем и частным.
Обозначение делимости нацело натурального числа \(n\) на натуральное число \(m\) символически таково: \(n \vdots m\) (\(n\) кратно \(m\)).
Натуральное число называется четным, если оно делится на \(2\), и нечетным в противном случае.
Определение делимости без остатка позволяет разделить все натуральные числа на простые и составные.
Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно делится без остатка лишь на единицу и на само себя. Примерами простых чисел могут служить \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... , 1999\). Натуральные числа, большие \(1\) и не являющиеся простыми, называются составными. Сама единица по определению не является ни простым, ни составным числом.
Если натуральные числа \(n\) и \(m\) делятся нацело на натуральное число \(k\), то число \(k\) называется общим делителем чисел \(n\) и \(m\). Числа, не имеющие никаких других общих делителей, кроме \(1\), называются взаимно простыми. Например, \(4\) и \(25\) - взаимно простые числа.
Теорема 1. Простых чисел бесконечно много.
Теорема 2. Всякое натуральное число \(n>1\) представимо в виде произведения степеней простых чисел\( p_1, p_2, ... , p_k\), причем числа \(m_1, m_2, ... , m_k\) являются натуральными и для каждого \(n\) определены однозначно. Это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.