«Академия» 8 (985) 155 00 00
ЕГЭ. Математика. Годовой курс 56 уроков, 112 часов
Задачи, основанные на теории чисел. Последняя задача ЕГЭ
03.10.16 16:00
Урок 1
Бесплатный
Вводное занятие. Натуральные числа
05.10.16 16:00
Урок 2
Целые числа. Делимость с остатком. НОД и НОК
10.10.16 16:00
Урок 3
Бесплатный
Свойства НОД и НОК. Диофантовы уравнения
12.10.16 16:00
Урок 4
Диофантовы уравнения второго порядка
Текстовые задачи
17.10.16 16:00
Урок 5
Простейшие текстовые задачи
19.10.16 16:00
Урок 6
Проценты
24.10.16 16:00
Урок 7
Проценты. Формула сложных процентов
31.10.16 16:00
Урок 8
Текстовые задачи на работу и движение
Теория вероятности
02.11.16 16:00
Урок 9
Основные понятия теории вероятности
Корни, степени, логарифмы
07.11.16 16:00
Урок 10
Степени и корни
09.11.16 16:00
Урок 11
Понятие о логарифме
Решение уравнений
16.11.16 16:00
Урок 12
Решение алгебраических уравнений
21.11.16 16:00
Урок 13
Решение показательных и логарифмических уравнений
23.11.16 16:00
Урок 14
Решение показательных и логарифмических уравнений
Тригонометрия
28.11.16 16:00
Урок 15
Геометрическое определение тригонометрических функций. Тригонометрическая окружность
30.11.16 16:00
Урок 16
Тригонометрические выражения
05.12.16 16:00
Урок 17
Тригонометрические выражения. Продолжение
07.12.16 16:00
Урок 18
Тригонометрические уравнения. Методы решения
12.12.16 16:00
Урок 19
Методы решения тригонометрических уравнений. Продолжение
14.12.16 16:00
Урок 20
Тригонометрические неравенства
Производная и начала математического анализа
19.12.16 16:00
Урок 21
Определение производной
21.12.16 16:00
Урок 22
Производная функции
11.01.17 16:00
Урок 23
Возрастание и убывание функций. Задачи на экстремум
16.01.17 16:00
Урок 24
Экономические задачи на наибольшее и наименьшее значения
18.01.17 16:00
Урок 25
Экономические задачи (продолжение). Первообразная и интеграл
Планиметрия
23.01.17 16:00
Урок 26
Координатная плоскость. Отрезки. Прямые. Углы и треугольники
25.01.17 16:00
Урок 27
Треугольники
30.01.17 16:00
Урок 28
Параллелограмм
01.02.17 16:00
Урок 29
Трапеция. Четыреугольники. Векторы
06.02.17 16:00
Урок 30
Окружность. Круг. Углы
08.02.17 16:00
Урок 31
Окружности, связанные с треугольником, четырехугольником
13.02.17 16:00
Урок 32
Задачи, связанные с окружностью
15.02.17 16:00
Урок 33
Планиметрия. Повышенный уровень
20.02.17 16:00
Урок 34
Планиметрия. Повышенный уровень
22.02.17 16:00
Урок 35
Задачи с развернутым ответом
Стереометрия
27.02.17 16:00
Урок 36
Куб. Параллелепипед
01.03.17 16:00
Урок 37
Призма. Пирамида
06.03.17 16:00
Урок 38
Тела вращения
13.03.17 16:00
Урок 39
Комбинации тел
15.03.17 16:00
Урок 40
Углы между плоскостями. Углы между прямыми
20.03.17 16:00
Урок 41
Углы и расстояния в пространстве
22.03.17 16:00
Урок 42
Комбинированные задачи на многогранники
27.03.17 16:00
Урок 43
Стереометрия. Повышенный уровень
29.03.17 16:00
Урок 44
Стереометрия. Повышенный уровень
Неравенства
03.04.17 16:00
Урок 45
Обобщенный метод интервалов
05.04.17 16:00
Урок 46
Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства
10.04.17 16:00
Урок 47
Неравенства, содержащие модули. Иррациональные неравенства. Повышенная сложность
12.04.17 16:00
Урок 48
Показательные неравенства
17.04.17 16:00
Урок 49
Логарифмические неравенства
19.04.17 16:00
Урок 50
Бесплатный
Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2017
24.04.17 16:00
Урок 51
Комбинированные неравенства
Задачи с параметром
26.04.17 16:00
Урок 52
Задачи с параметром
15.05.17 16:00
Урок 53
Задачи с параметром
17.05.17 16:00
Урок 54
Задачи с параметром
22.05.17 16:00
Урок 55
Задачи с параметром
24.05.17 18:00
Урок 56
Разбор ЕГЭ
Урок 1. Вводное занятие. Натуральные числа

Натуральные и взаимно простые числа в математике

Урок завершен 3 октября в 16:00
Введение в натуральные числа. Делимость, простые и составные числа

Урок

Смотреть запись урока  

Теория

Числа \(1, 2, 3, ..., 2002,…\) являются натуральными.

Натуральное число – одно из  основных понятий математики.

Множество всех натуральных  чисел принято обозначать заглавной латинской  буквой  \(N\).

Множество натуральных  чисел замкнуто (не выводит за пределы) относитльно арифметических  операций сложения и умножения. Это означает,  что если сложить два любых натуральных числа, то результатом будет натуральное число. То же самое относится к операции умножения.

Операции  вычитания и  деления могут  вывести за пределы множества \(N\).

В десятичной позиционной  системе  счисления (арабской) натуральное число \(n\) представляется в виде

\(n = a_ka_{k-1} ... a_2a_1a_0 = a_k 10^k+a_{k-1}*10^{k-1}+ ... +a_1*10^1+a_0*10^0\), где \(a_i, (i = 0, ... , k)\) цифры от \(0\) до \(9\), причем \(ak\neq 0\).

Пусть \(n\) и \(m\) – натуральные  числа, \(n\) делится нацело (без остатка) на \(m\),  если существует натуральное  число \(k\), такое,  что  \(n=mk\). Числа \(m,n\) и \(k\) при этом называют соответсвенно делимым, делителем и частным.

Обозначение делимости нацело натурального числа  \(n\)  на натуральное число  \(m\) символически таково: \(n \vdots m\) (\(n\) кратно \(m\)).

Натуральное  число  называется четным, если оно делится на \(2\), и нечетным в противном случае.

Определение делимости без остатка позволяет разделить все натуральные числа на простые и составные.

Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно делится без остатка лишь на единицу и на само себя. Примерами простых чисел могут служить \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... , 1999\). Натуральные числа, большие \(1\) и не являющиеся простыми, называются составными. Сама единица по определению не является ни простым, ни составным числом.

Если натуральные числа \(n\) и \(m\)  делятся нацело на натуральное число \(k\), то число \(k\) называется общим делителем чисел \(n\) и \(m\). Числа, не имеющие никаких других общих делителей, кроме \(1\), называются взаимно простыми. Например, \(4\) и \(25\) - взаимно простые числа.

Теорема 1. Простых чисел бесконечно много.

Теорема 2. Всякое натуральное число \(n>1\) представимо в виде произведения степеней простых чисел\( p_1, p_2, ... , p_k\), причем числа \(m_1, m_2, ... , m_k\) являются натуральными и для каждого \(n\) определены однозначно. Это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Методические материалы к уроку

Для того, чтобы открыть методический материал, необходимо записаться на урок.

Практикум

Для прохождения домашнего задания, вам необходимо записаться на урок.
Подвинцев Павел Владимирович
8 (985) 155 00 00 (звонок бесплатный) (беспл.)
8 (499) 390 71 57
119334, г. Москва,
Ленинский пр-т, 32а
Пн. – Пт.
10.00 – 20.00
Федеральная программа онлайн-обучения для школьников: возможность получить образование столичного уровня в регионах России.
©2017 Все права защищены.