
Ленинский пр-т, 32а
Уравнение, однородное относительно \(\sin{kx}\), \(\cos{mx}\)
Уравнение вида \(F(\sin{kx},\cos{mx})=0\) называется однородным степени \(n\) относительно \(\sin{kx},\cos{mx}\), если \(F(t\sin{kx},t\cos{mx})=t^{n} F(\sin{kx},\cos{mx}) \) при любом \(t\).
Это уравнение приводится к уравнению с одним неизвестным заменой переменных \(y={\cos{mx} \over \sin{kx}}\)(или \(y={\sin{kx} \over \cos{mx} }\)), где предварительно проверяется не является ли решением \(\sin{kx}=0\) (или \(\cos{mx}=0\)).
Метод введения вспомогательного угла
Рассмотрим выражение \(а\sin{x}+b\cos{x}\), \(ab≠0\), умножим и разделим его на \( \sqrt{a^2+b^2}\):
\(y=а\sin{x}+b\cos{x}= \sqrt{a^2+b^2}({a \over \sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} +{b \over \sqrt{a^2+b^2}}\cos{x})\).
Заметим, что \(({a \over \sqrt{a^2+b^2}})^2 +({b \over \sqrt{a^2+b^2}})^2=1\).
Этому условию удовлетворяют \(8\) точек на единичной окружности. Это точки с координатами \((±{a \over \sqrt{a^2+b^2}}; ±{b \over \sqrt{a^2+b^2}})\), \((±{b \over \sqrt{a^2+b^2}}; ±{a \over \sqrt{a^2+b^2}})\), и каждая пара координат может быть принята за \(\cos\) и \(\sin\) соответствующего угла.