Производная дроби равна "производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и деленные на знаменатель в квадрате".

Основные формулы дифференцирования

\((c)'=0\), где \(c=const\)

\((x)'=1\)

\((x^{n})'=nx^{n-1}\)

\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\((e^x)'=e^x\)

\((a^x)'=a^xlna\)

\((lnx)'=\frac{1}{x}\)

\((\sin{x})'=\cos{x}\)

\((\cos{x})'=-\sin{x}\)

\((tgx)'=\frac{1}{\cos^{2}x}\)

\((ctgx)'=-\frac{1}{\sin^{2}x}\)

Возрастание и убывание функции

Функция \(y = f(x)\) монотонно возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Условие возрастания функции на интервале: если \(f'(x) > 0\) на интервале, то функция возрастает на этом интервале.

Функция \(y = f(x)\) монотонно убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Условие убывания функции на интервале: если \(f'(x) < 0\) на интервале, то функция убывает на этом интервале.

Экстремумы функции

Точки максимума и минимума функции объединяются общим названием — точки экстремума.

Функция \(y = f(x)\) имеет максимум при \(x= a\), если при всех \(x\), достаточно близких к \(a\), выполняется неравенство \( f(a)>f(x)\)

Функция \(y = f(x)\) имеет минимум при \(x= a\), если при всех \(x\), достаточно близких к \(a\), выполняется неравенство \( f(a)<(x)\)

В этих точках производная функции либо равна нулю, либо не существует (необходимое условие экстремума).
Однако необходимое условие — это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с "\(+\)" на "\(−\)", то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с "\(−\)" на "\(+\)" , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.