Пусть даны два уравнения:
1. \(f(x)=0\)
2. \(g(x)=0\)
Уравнения 1 и 2 называются равносильными, если каждое решение уравнения 1 является решением уравнения 2 и, наоборот. Иными словами, два уравнения равносильны, если множество их решений совпадают.
Примеры равносильных преобразований:
- Возведение уравнения (неравенства) в нечетную натуральную степень (извлечение алгебраического корня нечетной степени) приводит к равносильному уравнению (неравенству);
- Если функции \(f(x)\) и \(g(x)\) неотрицательны на некотором множестве, то на этом множестве возведение в четную степень и извлечение арифметического квадратного корня;
- Если функция \(h(x)\) определена на \(ОДЗ\) исходного уравнения (неравенства) , то ее можно прибавить (вычесть)у обеим частям уравнения (неравенства);
- Если функция \(h(x)\) определена и не обращается в нуль на \(ОДЗ\) исходного уравнения, то обе части уравнения можно одновременно умножить (делить) на эту функцию.